统计计算四|蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)

系列文章目录

统计计算一|非线性方程的求解
统计计算二|EM算法(Expectation-Maximization Algorithm,期望最大化算法)
统计计算三|Cases for EM

文章目录

  • 系列文章目录
  • 一、基本概念
  • 二、变换采样
    • (一)基本概念
    • (二)相关定理
    • (三)示例
  • 三、逆变换采样
    • (一)相关定理
    • (二)逆变换法
    • (三)采样步骤
    • (四)示例
  • 四、接受拒绝采样
    • (一)基本概念
    • (二)工作原理
    • (三)采样步骤
    • (四)示例
  • 五、重要性采样
    • (一)基本概念
    • (二)蒙特卡洛估计
    • (三)示例


一、基本概念

蒙特卡洛方法:为了解决某确定性问题,把它变成一个概率模型的求解问题,然后产生符合模型的大量随机数,对产生的随机数进行分析从而求解问题的方法,又称为随机模拟方法。

  • 随机数:设 X X X 是具有分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 的随机变量,从分布 F ( x ) F(x) F(x) 中随机抽样得到的序列 { x i , i = 1 , 2 , . . . } \{x_i, i = 1, 2, ...\} {xi,i=1,2,...} 称为该分布的随机数序列, x i x_i xi 称为分布 F ( x ) F(x) F(x) 的随机数。

(一)估算 π \pi π

向正方形 D = { ( x , y ) : x ∈ [ 0 , 1 ] , y ∈ [ 0 , 1 ] } D=\{(x,y):x\in[0,1],y\in[0,1]\} D={(x,y):x[0,1],y[0,1]}内随机等可能投点,落入四分之一圆 C = { ( x , y ) : x 2 + y 2 ≤ 1 , x > 0 , y > 0 } C=\{(x,y):x^2+y^2\leq 1,x>0,y>0\} C={(x,y):x2+y21,x>0,y>0}的概率为面积之比 p = π 4 p=\frac{\pi}{4} p=4π。如果独立重复地投了 n n n个点,落入 C C C中的点的个数为 ξ \xi ξ,则有:
ξ n ≈ π 4 , π ≈ π ^ = 4 ξ n \frac{\xi}{n}\approx \frac{\pi}{4},\ \pi\approx \hat{\pi}=\frac{4\xi}{n} nξ4π, ππ^=n4ξ
在这里插入图片描述
由于 ξ \xi ξ服从 B i n o m i a l ( n , π 4 ) Binomial(n,\frac{\pi}{4}) Binomial(n,4π)分布,有:
V a r ( π ^ ) = π ( 4 − π ) 16 n Var(\hat{\pi})=\frac{\pi(4-\pi)}{16n} Var(π^)=16nπ(4π)
由中心极限定理, π ^ \hat{\pi} π^近似服从 N ( π , π ( 4 − π ) 16 n ) N(\pi,\frac{\pi(4-\pi)}{16n}) N(π,16nπ(4π))分布,所以随机模拟误差的幅度大约在 ± 2 π ( 4 − π ) 16 n \pm 2\sqrt{\frac{\pi(4-\pi)}{16n}} ±216nπ(4π) (随机模拟误差95%以上落入此区间)

(二)求积分

将积分转化为期望来计算:对于 Q = ∫ a b h ( x ) d x Q=\int_a^bh(x)dx Q=abh(x)dx,取 U ∼ U ( a , b ) U\sim U(a,b) UU(a,b),有:
Q = ( b − a ) ∫ a b h ( u ) 1 b − a d u = ( b − a ) E [ h ( U ) ] Q=(b-a)\int_a^bh(u)\frac{1}{b-a}du=(b-a)E[h(U)] Q=(ba)abh(u)ba1du=(ba)E[h(U)]
若取 { U i , i = 1 , . . . , N } \{U_i,i=1,...,N\} {Ui,i=1,...,N}独立同 U ( a , b ) U(a,b) U(a,b)分布,并设 Y i = h ( U i ) , i = 1 , 2 , . . . , N Y_i=h(U_i),i=1,2,...,N Yi=h(Ui),i=1,2,...,N i i d iid iid随机变量列,由强大数律:
Y ˉ = 1 N ∑ i = 1 N h ( U i ) → E h ( U ) = Q b − a , a . s . ( N → ∞ ) \bar{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nh(U_i)\rightarrow Eh(U)=\frac{Q}{b-a},\ a.s.(N\rightarrow ∞) Yˉ=N1i=1Nh(Ui)Eh(U)=baQ, a.s.(N)
于是有:
Q ^ = ( b − a ) Y ˉ = b − a N ∑ i = 1 N h ( U i ) \hat{Q}=(b-a)\bar{Y}=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^Nh(U_i) Q^=(ba)Yˉ=Nbai=1Nh(Ui)

由中心极限定理:
N ( Q ^ − Q ) → d N ( 0 , ( b − a ) 2 V a r ( h ( U ) ) ) \sqrt{N}(\hat{Q}-Q)\xrightarrow{d} N(0,(b-a)^2Var(h(U))) N (Q^Q)d N(0,(ba)2Var(h(U)))
V a r [ h ( U ) ] = ∫ a b [ h ( u ) − E h ( U ) ] 2 1 b − a d u Var[h(U)]=\int_a^b[h(u)-Eh(U)]^2\frac{1}{b-a}du Var[h(U)]=ab[h(u)Eh(U)]2ba1du
V a r [ ( h ( U ) ] Var[(h(U)] Var[(h(U)]可以用模拟样本 { Y i = h ( U i ) } \{Y_i=h(U_i)\} {Yi=h(Ui)}估计为:
V a r ( h ( U ) ) ≈ 1 N ∑ i = 1 N ( Y i − Y ˉ ) 2 Var(h(U))\approx\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(Y_i-\bar{Y})^2 Var(h(U))N1i=1N(YiYˉ)2

(三)使用步骤

蒙特卡洛方法的理论基础是大数定律。样本数量越多,则随机数的平均值就越接近期望,也就是要计算的真实值。

  • 将实际问题转化为求期望,并定义要采样的随机变量
  • 计算机模拟采样过程,处理产生的随机数得到期望

二、变换采样

(一)基本概念

如果随机变量 η η η 不容易抽样,但是存在另一个容易抽样的随机变量 ξ ξ ξ 和随机变量 η η η 间具有一一对应关系,即 η = h ( ξ ) η = h(ξ) η=h(ξ) ξ = h − 1 ( η ) ξ = h^{−1}(η) ξ=h1(η),同分布。那么可以先产生随机变量 ξ ξ ξ,再由函数关系 h ( ⋅ ) h(·) h() 得到随机变量 η η η,这种产生随机数的方法称为变换抽样法。

(二)相关定理

设随机变量 ξ \xi ξ具有概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x),另有一函数 h ( ⋅ ) h(·) h()严格单调,其反函数记为 h − 1 ( ⋅ ) h^{-1}(·) h1()且导函数存在,则 η = h ( ξ ) \eta=h(\xi) η=h(ξ)是随机变量 ξ \xi ξ的函数,其概率密度函数为:
p ( z ) = f ( h − 1 ( z ) ) ⋅ ∣ { h − 1 ( z ) } ′ ∣ p(z)=f(h^{-1}(z))·|\{h^{-1}(z)\}'| p(z)=f(h1(z)){h1(z)}

证明:在这里插入图片描述

(三)示例

  • 用变换抽样法产生分布为 N ( µ , σ 2 ) N(µ, σ2) N(µ,σ2) 的随机数。
    在这里插入图片描述

  • 用变换抽样法产生分布为 G a m m a ( 1 / 2 , 3 ) Gamma(1/2, 3) Gamma(1/2,3) 的随机数。
    在这里插入图片描述

三、逆变换采样

(一)相关定理

假设 X X X为一个连续随机变量,其累计分布函数为 F X F_X FX,此时可证明随机变量 Y = F X ( X ) Y=F_X(X) Y=FX(X)服从区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上的均匀分。逆变换采样就是将上述过程反过来进行。

设连续型随机变量 η \eta η的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)是连续且严格单调上升的分布函数,其反函数存在且记为 F − 1 ( x ) F^{-1}(x) F1(x)。则有:

  • 随机变量 F ( η ) F(\eta) F(η)服从 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上的均匀分布,即 F ( η ) ∼ U ( 0 , 1 ) F(\eta)\sim U(0,1) F(η)U(0,1)
  • 对于随机变量 U ∼ U ( 0 , 1 ) U\sim U(0,1) UU(0,1) F − 1 ( U ) F^{-1}(U) F1(U)的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x)

证明:
在这里插入图片描述

(二)逆变换法

逆变换法:当随机变量 η \eta η的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)的反函数存在,且容易计算时,可通过产生均匀分布的随机数来产生 η \eta η的随机数序列 { η i , i = 1 , 2 , . . . } \{\eta_i,i=1,2,...\} {ηi,i=1,2,...}。这种产生非均匀分布随机数的方法称为逆变换法或反函数法。

(三)采样步骤

  • 产生 U ( 0 , 1 ) U(0,1) U(0,1)的随机数序列 { u i , i = 1 , 2 , . . . } \{u_i,i=1,2,...\} {ui,i=1,2,...}
  • η \eta η的随机数序列为:
    η i = F − 1 ( u i ) , i = 1 , 2 , . . . \eta_i=F^{-1}(u_i),i=1,2,... ηi=F1(ui),i=1,2,...

(四)示例

  • 产生概率密度函数为 f(x) 的随机数,其中:
    f ( x ) = { x σ 2 e − x 2 2 σ 2 , x > 0 0 , z ≤ 0 f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, & \text{$x>0$} \\ 0, & \text{$z\leq0$} \end{cases} f(x)={σ2xe2σ2x2,0,x>0z0
    在这里插入图片描述
  • 产生分布函数为 F ( x ) F(x) F(x) 的随机数 η η η,其中
    F ( x ) = x 2 + x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 F(x)=\frac{x^2+x}{2},0\leq x\leq 1 F(x)=2x2+x,0x1
    在这里插入图片描述

四、接受拒绝采样

(一)基本概念

拒绝抽样是基于以下观察而提出的:要在一维中抽样一个随机变量,可以对二维笛卡尔图进行均匀随机抽样,并将样本保留在其密度函数图形下的区域中。

想象将一个随机变量的密度函数绘制在一个大矩形板上,并向其投掷飞镖。假设这些飞镖在整个板上均匀分布。现在移除所有落在曲线下方以外区域的飞镖。剩下的飞镖将在曲线下方的区域内均匀分布,并且这些飞镖的 x 坐标将按照随机变量的密度分布。这是因为在曲线最高的地方,也就是概率密度最大的地方,飞镖着陆的空间最多。
在这里插入图片描述

拒绝抽样的一般形式假设板子的形状不一定是矩形,而是根据某个提议分布的密度来确定(该分布不一定归一化为 1)。通常情况下将其视为某个已知的分布的倍数。提议分布中的每个点至少与想要抽样的分布一样高,以便前者完全包围后者。(否则,想要抽样的曲线区域中的某些部分可能永远无法到达。)
在这里插入图片描述

(二)工作原理

拒绝抽样的工作原理:

  • 从提议分布中在 x 轴上抽样一个点。
  • 在该 x 位置上画一条竖直线,直到提议分布的概率密度函数的 y值。
  • 在这条线上从 0 到提议分布的概率密度函数的 y 值之间均匀抽样。如果抽样值大于该竖直线上所需分布的密度函数值,则拒绝该 x 值并返回第 1 步;否则,该 x 值就是所需分布的一个样本。

拒绝抽样算法可以用于从任何曲线下方进行抽样,无论函数是否积分为 1。事实上,通过常数缩放函数对抽样的 x 位置没有影响。因此,该算法可以用于从归一化常数未知的分布中进行抽样。

(三)采样步骤

提案分布 g g g:为了从密度为 f f f的分布 X X X中获取样本,利用了容易采样的密度函数为 g g g的分布 Y Y Y g g g就是提案分布

M M M为似然比 f ( x ) / g ( x ) f(x)/g(x) f(x)/g(x)的上界,即一个常数满足 1 ≤ M < ∞ 1\leq M<∞ 1M<。也就是说 M M M必须满足 f ( x ) ≤ M g ( x ) f(x)\leq Mg(x) f(x)Mg(x)对任意 x x x都成立,因此 Y Y Y分布的支撑要包含 X X X的支撑

  • 从分布 Y Y Y获取样本 y ∼ g y\sim g yg,并从 U n i f ( 0 , 1 ) Unif(0,1) Unif(0,1)(单位区间上的均匀分布)获取样本 u u u
  • 检查是否 u < f ( y ) / M g ( y ) u<f(y)/Mg(y) u<f(y)/Mg(y).( M ≥ 1 M\geq 1 M1)
    • 成立则接受 y y y作为从 f f f中抽取的样本
    • 不成立则拒绝 y y y的值并重新获取样本

保留样本不大于值 y 的概率为:
在这里插入图片描述

其中 P [ U ≤ f ( Y ) M g ( Y ) ] = 1 M P[U\leq \frac{f(Y)}{Mg(Y)}]=\frac{1}{M} P[UMg(Y)f(Y)]=M1为接受率,接受率越大,采样效率就越高。接受拒绝算法平均需要 M 次迭代才能获得样本,并且M 越小越好,即包络线越贴近目标分布越好,可设
M = max ⁡ x f ( x ) g ( x ) M=\max_x \frac{f(x)}{g(x)} M=xmaxg(x)f(x)

在这里插入图片描述

(四)示例

试用接受拒绝采样产生服从均值为 0,方差为 1 的半正态分布的随机数 η η η,该分布的概率密度函数为
p ( z ) = { 2 / π e − z 2 2 , z ≥ 0 0 , z < 0 p(z) = \begin{cases} \sqrt{2/\pi}e^{-\frac{z^2}{2}}, & \text{$z\geq0$} \\ 0, & \text{$z<0$} \end{cases} p(z)={2/π e2z2,0,z0z<0

在这里插入图片描述

五、重要性采样

(一)基本概念

接受拒绝采样完美的解决了累积分布函数不可求时的采样问题。但是接受拒绝采样非常依赖于提议分布的选择,如果提议分布选择的不好,可能采样时间很长却获得很少满足分布的粒子。而重要性采样就解决了这一问题。

重要性采样是使用蒙特卡洛方法估算积分 (期望) 时,提高对积分计算重要区域的抽样,从而达到减少方差的目的。
μ = E X ∼ f ( h ( X ) ) = ∫ h ( x ) f ( x ) d x = ∫ h ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) d x \mu=E_{X\sim f}(h(X))=\int h(x)f(x)dx=\int h(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx μ=EXf(h(X))=h(x)f(x)dx=h(x)g(x)f(x)g(x)dx

或若 ∫ f ( x ) ≠ 1 \int f(x)\neq 1 f(x)=1, 也就是只知道分布成比例于某个函数,差一个归一化常数,则
μ = E X ∝ f ( h ( X ) ) = ∫ h ( x ) f ( x ) ∫ f ( x ) d x d x = ∫ h ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) d x ∫ f ( x ) g ( x ) g ( x ) d x \mu=E_{X∝f}(h(X))=\int h(x)\frac{f(x)}{\int f(x)dx}dx=\frac{\int h(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx}{\int \frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx} μ=EXf(h(X))=h(x)f(x)dxf(x)dx=g(x)f(x)g(x)dxh(x)g(x)f(x)g(x)dx

(二)蒙特卡洛估计

上式建议用来估计 E h ( X ) Eh(X) Eh(X) 的一种 Monte Carlo 方法:

  • g g g中抽取独立同分布的样本 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn,并采用估计:
    μ ^ I S ∗ = 1 n ∑ i h ( x i ) f ( x i ) g ( x i ) → E X ∼ g ( h ( x ) f ( x ) g ( x ) ) \hat{\mu}^*_{IS}=\frac{1}{n}\sum_ih(x_i)\frac{f(x_i)}{g(x_i)}\rightarrow E_{X\sim g}(h(x)\frac{f(x)}{g(x)}) μ^IS=n1ih(xi)g(xi)f(xi)EXg(h(x)g(x)f(x))

  • 可以写成:( w ∗ ( X i ) = f ( X i ) / g ( X i ) w^*(X_i)=f(X_i)/g(X_i) w(Xi)=f(Xi)/g(Xi)是未标准化权重,称为重要性比率)
    μ ^ I S ∗ = 1 n ∑ i h ( X i ) w ∗ ( X i ) \hat{\mu}^*_{IS}=\frac{1}{n}\sum_ih(X_i)w^*(X_i) μ^IS=n1ih(Xi)w(Xi)

  • 若是差一个比例常数的 f,则( w ∗ ( X i ) = w ∗ ( X i ) / ∑ i = 1 n w ∗ ( X i ) w^*(X_i)=w^*(X_i)/\sum_{i=1}^nw^*(X_i) w(Xi)=w(Xi)/i=1nw(Xi)是标准化权重)
    μ ^ I S = 1 n ∑ i h ( X i ) w ( X i ) \hat{\mu}_{IS}=\frac{1}{n}\sum_ih(X_i)w(X_i) μ^IS=n1ih(Xi)w(Xi)

  • 估计值的方差是
    V a r ( μ ^ ) = 1 n V a r h ( X ) f ( X ) g ( X ) = 1 n ∫ ( h ( x ) f ( x ) g ( x ) − μ 2 ) 2 g ( x ) d x = 1 n { ∫ ( h 2 ( x ) f 2 ( x ) g ( x ) d x − μ 2 } \begin{aligned} Var(\hat{\mu})=&\frac{1}{n}Var\frac{h(X)f(X)}{g(X)} \\ =&\frac{1}{n}\int (\frac{h(x)f(x)}{g(x)}-\mu^2)^2g(x)dx\\ =&\frac{1}{n}\{ \int(\frac{h^2(x)f^2(x)}{g(x)}dx-\mu^2\}\\ \end{aligned} Var(μ^)===n1Varg(X)h(X)f(X)n1(g(x)h(x)f(x)μ2)2g(x)dxn1{(g(x)h2(x)f2(x)dxμ2}
    如果 h 2 ( x ) f 2 ( x ) / g 2 ( x ) = μ 2 {h^2(x)f^2(x)}/{g^2(x)}=\mu^2 h2(x)f2(x)/g2(x)=μ2,就有 V a r ( μ ^ ) = 0 Var(\hat{\mu})=0 Var(μ^)=0,即方差达到最小。此时:
    g ( x ) = ∣ h ( x ) ∣ f ( x ) μ = ∣ h ( x ) ∣ f ( x ) ∫ ∣ h ( x ) ∣ f ( x ) d x g(x)=\frac{|h(x)|f(x)}{\mu}=\frac{|h(x)|f(x)}{\int |h(x)|f(x)dx} g(x)=μh(x)f(x)=h(x)f(x)dxh(x)f(x)
    密度函数 g ( x ) g(x) g(x) 的最佳选择就是和被积函数 ∣ h ( x ) ∣ f ( x ) |h(x)|f(x) h(x)f(x) 具有相同的形状。对积分值贡献越大的区域,希望以较大的概率抽取到随机数。
    在实际中, µ µ µ 是未知量,因此无法选取 g ( x ) g(x) g(x),使得 V a r ( µ ^ ) = 0 Var(\hat{µ}) = 0 Var(µ^)=0。通常情况下,我们会选取一个形状接近 ∣ h ( x ) ∣ f ( x ) |h(x)|f(x) h(x)f(x) 的函数作为 g ( x ) g(x) g(x)
    μ = ∫ h ( x ) f ( x ) d x = ∫ h ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) d x \mu=\int h(x)f(x)dx=\int h(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx μ=h(x)f(x)dx=h(x)g(x)f(x)g(x)dx
    在这里插入图片描述

(三)示例

例:用重要抽样法估计 μ = ∫ 0 1 x f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x \mu=\int_0^1xf(x)dx=\int_0^1e^xdx μ=01xf(x)dx=01exdx的估计值
在这里插入图片描述

参考:
MCMC入门(一)蒙特卡罗方法与拒绝-接受采样

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/diannao/17252.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

【设计模式】JAVA Design Patterns——Commander(指挥官模式)

&#x1f50d;目的 用于处理执行分布式事务时可能遇到的所有问题。 &#x1f50d;解释 处理分布式事务很棘手&#xff0c;但如果我们不仔细处理&#xff0c;可能会带来不想要的后果。假设我们有一个电子商务网站&#xff0c;它有一个支付微服务和一个运输微服务。如果当前运输…

学习图形推理

学习图形推理 1.位置规律1.1平移1.2翻转、旋转2.样式规律2.1加减异同2.2黑白运算3.属性规律3.1对称性3.2曲直性3.3开闭性4.数量规律4.1面4.2线数量4.3笔画数4.4点数量4.5素数量5.空间重构5.1相对面5.2相邻面-公共边5.3相邻面-公共点5.4相邻面-画边法题型 一组图:从左往右找规律…

编程-辅助工具-Git下载

文章目录 1、前言2、Git官网地址3、迅雷下载 1、前言 采用Git能下载github上的代码&#xff0c;其下载是采用官网下载的&#xff0c;但是下载速度比较慢&#xff0c;网上也推荐了镜像的方式&#xff0c;但是有些链接失效了&#xff0c;突然有一天想起用迅雷是不是合适&#xf…

DDR基本原理

1. 简介 DDR SDRAM&#xff08;Double Data Rate Synchronous Dynamic Random Access Memory&#xff0c;双数据率同步动态随机存储器&#xff09;通常被我们称为DDR&#xff0c;其中的“同步”是指内存工作需要同步时钟&#xff0c;内部命令的发送与数据传输都以它为基准。DDR…

【社会信用体系1003】 企业违规新解:社会信用环境改善的实证分析!

今天给大家分享的是来自于国内顶级期刊金融研究2023年发表论文——《社会信用环境改善降低了企业违规吗&#xff1f;——来自“中国社会信用体系建设”的证据》所用到的重要数据集&#xff0c;该文章从企业层面探讨了社会信用系统建设对企业违规行为的影响&#xff0c;更精准地…

牛客NC164 最长上升子序列(二)【困难 贪心+二分 Java/Go/PHP/C++】

题目 题目链接&#xff1a; https://www.nowcoder.com/practice/4af96fa010c44638a7e112abf65f7237 思路 贪心二分 所谓贪心&#xff0c;就是往死里贪&#xff0c;所以对于最大上升子序列&#xff0c;结尾元素越小&#xff0c;越有利于后面接上其他的数&#xff0c;也就可能变…

使用 Elasticsearch 作为 Azure OpenAI On Your Data 的向量数据库

作者&#xff1a;来自 Elastic Paul Oremland 背景介绍 最近&#xff0c;微软通过 Azure OpenAI 服务 "On Your Data" 将 Elasticsearch 直接集成到 Azure 中。"On Your Data" 使组织能够利用强大的 AI 模型&#xff08;如 GPT-4 和 RAG 模型&#xff09;…

想知道期权的交易方式有哪些吗?新手必看!

今天期权懂带你了解想知道期权的交易方式有哪些吗&#xff1f;新手必看&#xff01;期权指投资者在支付了一定的权利金之后&#xff0c;将拥有未来某个时间协定价格买入或者卖出的权利。 期权的交易策略方式有哪些&#xff1f; 买入看涨期权&#xff1a; 使用场景&#xff1a…

C# WPF入门学习主线篇(四)—— Button的常用属性

本期来详细介绍一下WPF中Button组件的属性都有哪些 一、准备阶段 首先&#xff0c;打开我们之前创建好的工程。 这是我们之前几期一起做过的工程&#xff0c;现在重新创建一个button&#xff0c;来熟悉一下他的属性。 选中创建的button&#xff0c;点击属性栏 二、接下来介绍…

layui扩展件(xm-select)实现下拉框

layui扩展件&#xff08;xm-select&#xff09;实现下拉框 扩展组件 xm-select 效果图 html代码 <div class"layui-inline"><label class"layui-form-label">职位</label><div class"layui-input-inline" style"wid…

小皮面板中访问不了本地的sqli网站---解决方法

今天想在sqli-labs中做题&#xff0c;却发现自己访问不了网站 1、具体的错误原因如下 2、查了一下&#xff0c;可能是因为自己访问的域名不对 3、修改了域名为&#xff1a;http://sqli-labs:81/Less-2/便可以访问了 4、然后接下来我有遇到一个错误&#xff0c;这个问题是php版…

【onnx问题解决】关键词:found at least two devices、torch.onnx.export

关键词&#xff1a;Expected all tensors to be on the same device, but found at least two devices, cpu and cuda:0! 报错&#xff1a; [34m[1mONNX:[0m export failure ❌ 3.8s: Expected all tensors to be on the same device, but found at least two devices, cpu an…

Amazon云计算AWS之[7]内容推送服务CloudFront

文章目录 CDNCDN简介CDN网络技术 CloudFrontCloudFront基本概念 CDN CDN简介 用户在发出服务请求后&#xff0c;需要经过DNS服务器进行域名解析后得到所访问网站的真实IP&#xff0c;然后利用该IP访问网站。在这种模式中&#xff0c;世界各地的访问者都必须直接和网站服务器连…

openflow协议抓包分析

1、准备实验拓扑&#xff1a; 在Mininet环境中创建一个简单的SDN拓扑&#xff0c;包括控制器、交换机、主机等。 确保拓扑能够正常运行&#xff0c;SDN交换机与控制器建立连接。 采用主机Ubuntu22.04主机&#xff0c;IP地址是192.168.87.130&#xff0c;安装opendaylight控制…

Git标签管理

文章目录 1. 什么是标签2. 创建标签3. 标签删除4. 本地标签推送至远程5. 标签远程删除 1. 什么是标签 标签tag &#xff0c;可以简单的理解为是对某次commit的⼀个标识&#xff0c;相当于起了⼀个别名。 例如&#xff0c;在项目发布某个版本的时候&#xff0c;针对最后一次co…

PG实践|PostgreSQL的安装和配置

&#x1f4eb; 作者简介&#xff1a;「六月暴雪飞梨花」&#xff0c;专注于研究Java&#xff0c;就职于科技型公司后端工程师 &#x1f3c6; 近期荣誉&#xff1a;华为云云享专家、阿里云专家博主、腾讯云优秀创作者、ACDU成员 &#x1f525; 三连支持&#xff1a;欢迎 ❤️关注…

代码随想录算法训练营第20天 |● 654.最大二叉树 ● 617.合并二叉树 ● 700.二叉搜索树中的搜索 ● 98.验证二叉搜索树

文章目录 前言654.最大二叉树思路方法一 递归法方法一2 老师的优化递归法 617.合并二叉树思路方法一 递归法方法二 迭代法 700.二叉搜索树中的搜索思路方法一 递归法方法二 迭代法 98.验证二叉搜索树思路方法一 使用数组方法二 不使用数组代码注意点&#xff1a; 方法二 使用双…

攻击者常用的五个数据中转网站

近来&#xff0c;各种数据中转网站被攻击者广泛用于传播代码片段、配置文件和各种文本数据&#xff0c;尽管这为研究人员提供了观察的窗口&#xff0c;但敏感信息被上传到互联网上时&#xff0c;也会对受害者构成巨大威胁。 这些网站通常并不需要注册或者身份验证&#xff0c;…

深入了解Linux中的环境变量

在Linux系统中&#xff0c;环境变量&#xff08;Environment Variables&#xff09;是用于配置操作系统和应用程序运行环境的一种机制。它们储存在键值对中&#xff0c;可以控制程序的行为、路径查找和系统配置。本文将深入探讨环境变量的基本概念、常见类型、设置和管理方法&a…

Latex公式编辑:在矩阵内画横线与竖线

在LaTeX中&#xff0c;要在矩阵内绘制横线和竖线&#xff0c;我们通常使用array或matrix环境&#xff0c;并结合\hline&#xff08;用于横线&#xff09;和|&#xff08;用于竖线&#xff09;来实现。但需要注意的是&#xff0c;\hline通常用于表格环境中。 LaTeX中绘制分块矩阵…