Python | R | MATLAB高斯过程统计模型

📜随机统计模型-用例

✒️Python 随机过程

随机过程是一段时间内随机变量的集合。它可以是离散型或连续型。微积分和概率论技术用于研究该过程。随机过程有很多孩子。本笔记本将给出几种随机过程作为示例。让我们将随机过程定义为在公共概率空间上定义的随机变量的集合
$(\Omega, F , P)$
其中 $\Omega$ 是样本空间或所有可能的结果，数学 $F$ 是西格玛代数，其中每个集合包含零个或多个可能的结果， $P$ 是实现结果的概率。我们定义一个带有索引 t（代表时间）的函数，将集合 T 中的变量映射到状态空间 S 中的随机变量，或者：
$X_t: T \rightarrow S$
我们将看到的第一个基本过程是随机游走。它被定义为由没有规则决定其发展的步骤所创建的路径。 “随机游走”一词由数学家 Karl Pearson（1857 - 1936）于 1905 年创造。该过程可以表示为一维或多维。金融领域有许多应用程序可以对股票和价格变动进行建模、赌徒的净资产、市场上人员的流动（例如作为一些基于代理的建模）、分子和粒子的运动或基因组中基因的变化。随机游走有多种类型，如果步长遵循正态分布，则称其为高斯型。随机游走的其他变体是自交互游走、相关游走、最大熵随机游走等。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random as rm
from scipy.stats import norm
import itertools
import matplotlib.patches as mpatches

np.random.seed(99)all_walks = []for i in range(10) :random_walk = [0]for x in range(100) :step = random_walk[-1]dice = np.random.randint(1,7)if dice <= 2:step = step - 1elif dice <= 5:step = step + 1else:step = step + np.random.randint(1,5)random_walk.append(step)all_walks.append(random_walk)plt.plot(random_walk)
plt.show()

我们生成模拟 100 次随机游走。使用 99 的 np.random.seed 可以让读者重现相同的结果。因为我们使用的是整数的高斯随机生成器，所以游走本质上是高斯的。为了让事情变得更有趣，我们创建了一个基本算法，在该算法中，我们通过掷骰子并根据结果移动特定的步数。我们从 for 循环的上一次迭代中获取步骤数。如果骰子小于或等于 2，则步数减少 1；如果骰子数在 3 到 5 之间，则步数增加 1；如果骰子数为 6，则步数增加为 1 到 1 之间的随机数。 4. 最后打印随机游走的值（可选地，将其注释掉）并绘制。我们似乎主要呈增长趋势。

np.random.seed(99)
all_walks = []
for i in range(20) :random_walk = [0]for x in range(100) :step = random_walk[-1]dice = np.random.randint(1,7)if dice <= 2:step = step - 1elif dice <= 5:step = step + 1else:step = step + np.random.randint(1,5)if np.random.rand() <= 0.001 :step = 0random_walk.append(step)all_walks.append(random_walk)np_aw = np.array(all_walks)plt.plot(np_aw)
plt.show()plt.clf()
np_aw_t = np.transpose(np_aw)plt.plot(np_aw_t)
plt.show()

我们从 20 次步行开始。图表比下面的 500 次步行要清晰得多。大多数路径都遵循增长趋势。

np.random.seed(99)
all_walks = []
for i in range(500) :random_walk = [0]for x in range(100) :step = random_walk[-1]dice = np.random.randint(1,7)if dice <= 2:step = step - 1elif dice <= 5:step = step + 1else:step = step + np.random.randint(1,5)if np.random.rand() <= 0.001 :step = 0random_walk.append(step)all_walks.append(random_walk)np_aw = np.array(all_walks)plt.plot(np_aw)
plt.show()plt.clf()
np_aw_t = np.transpose(np_aw)plt.plot(np_aw_t)
plt.show()

现在我们将缩放模拟，将步行数量增加到 500。步行已绘制出来。由于进行了如此多的模拟，因此图表非常密集且信息量不大，但大数定律现在将适用。趋势再次主要是增加。

ends = np_aw_t[-1]plt.hist(ends)
plt.show()bool = ends >= 40
greater = sum(bool)
print("The odds of the ending point being above 40 is " + "{:0.2%}".format(greater / 500))

当所有的行走都以变量结束时，我们定义过程的终点。它已被绘制并显示接近正态分布，尽管它似乎与左侧有些不对称。最后我们计算出终点大于 90 的几率，即 20.40%。（对于其他百分比也可以这样做）。