【数据结构课程学习】二叉树

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1.二插树的概念和结构

🚗二叉树的概念：

🚗特殊的二叉树：

🚗二叉树的性质：

🚗二叉树的几个理论题：

🚗二叉树的存储结构：

2.堆：

二叉树基本的函数：

🏝头文件和堆的结构定义：

🏝1.初始化堆：

🏝2.堆的销毁：

🏝3.堆的插入：

🏝4.删除堆顶元素：

1.二插树的概念和结构

🚗二叉树的概念：

●二叉树中所以的节点的度都小于2，也就是一个父节点最大两个子节点。

●二叉树是一种有序结构，左孩子和有孩子颠倒，二叉树是有序树。

●树是递归定义的，所以二叉树也可以一直往下分，而且每一个节点最多也只能分成左右两个部分。

二叉树由下面几种情况组成：空树，只有根节点，只有左子树，只有有子树，左右子树

因为左右孩子不能颠倒，所以左子树和右子树是不一样的。

🚗特殊的二叉树：

可以把根节点看成第树的第1层，也可以看成树的第0层。但是把根节点看成第0层，那么是空树的时候，树的深度为-1。这样定义的话就比较别扭，所以还是把根节点定义为树的第一层。

🚀满二叉树：

每一层达到最大节点数的时候，为满二叉树。也就是第n层最多的节点数为2^(n-1)个。n层的满二叉树，总节点为2^n -1个。

🚀完全二叉树：
完全二叉树可以看成是从满二叉树截取出来的，完全二叉树里的节点和满二叉树的节点一一对应。即每一层都要从最左边往右边定义，而且先是左孩子，然后再是右孩子。

🚗二叉树的性质：

规定根的节点层级为1

●一棵非空二叉树的第n层最多有2^(n-1)个节点，总节点最多为2^n-1。

●当只有根节点的时候，叶子节点为M个，度为2的节点为N个。所以只有根节点的时候，叶子节点为M=1，度为2的节点为N=0。所以M=N+1。然后在任何情况下，增加一个叶子节点，度为2的节点也会增加一个。所以二叉树中，任何非空情况下都有：

叶子节点数=度为2的节点数+1

●有N个节点，那么就有（N-1）条边。因为除了根节点以外，每增加一个节点就要增加一条边。

●具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1）。

●从树从上到下，从左到右进行编号，根节点编号为0，一共有N个节点，最大序号为N-1那么有下面结论：

1.除了根节点以外，其他的都有父节点，那么第i个节点的父节点的序号为：（i-1）/2。

2.如果第i个节点，2*i+1<N,那么2*i+1为i节点的左孩子，如果大于等于N，那么没有左孩子。

3.如果第i个节点，2*i+2<N,那么2*i+2为i节点的右孩子，如果大于等于N，那么没有右孩子。

🚗二叉树的几个理论题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个 度为 2 的结点 ，则该二叉树中的 叶子结点数 为（ B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解：B。因为除了空树以外，其他情况下都有： 叶子节点数=度为2的节点数+1 ，度为2的节点数为199，那么叶子节点为200。

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（A ）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

解：A。因为如果连完全二叉树都不是，定义的顺序就不是满足从左到右，从上到下。这样用顺序存储就不太合适，如果是完全二叉树，用数组存储还是可以的。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（B ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解：B。因为节点数是2n个，是偶数个，又是完全二叉树，所以只有一个节点的度为1，其他的要么是叶子节点，要么是度为2的节点，所以有： 度为2的节点+叶子节点+1=叶子节点-1+叶子节点+1=2*叶子节点=2n，所以叶子节点为n个。

4.一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B）

A 11

B 10

C 8

D 12

解：B。当高度为9的满二叉树节点总数为2^9-1=511,高度为10的满二叉树的总节点为2^10-1=1023，531在511和1023之间，所以这棵树的高度为10。

5.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（B）

A 383

B 384

C 385

D 386

解：B。767个节点，与第三题差不多，但是是奇数个节点，那么所以节点的度都是2，所以有： 度为2的节点数+叶子节点数=767，度为2的节点数+1=叶子节点数。所以叶子节点*2-1=767，所以叶子节点为384。

🚗二叉树的存储结构：

1.顺序存储：

顺序存储时使用数组来存储，完全二叉树适合用数组存储。这时候在物理层面上看时数组，从逻辑上看是一课二叉树。不是完全二叉树会存在空间浪费。

2.链式存储：

用链表来存储二叉树，即用链的逻辑关系来存储二叉树。链表的结构里一般存这数据，左孩子的地址，右兄弟的地址。

//二叉链
struct BinaryTreeNode {int x;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
};//三叉链
struct BinaryTreeNode {int x;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;struct BinaryTreeNode* parent;
};

2.堆：

1.堆是一棵完全二叉树。

2.堆的父节点总是大于等于或者小于等于子节点。

二叉树基本的函数：

🏝头文件和堆的结构定义：

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;typedef struct HP {HPDataType* a;int size;size_t capacity;
}HP;//堆的初始化
void HPInit(HP* php);//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php);//堆的插入，一小堆为例，小堆：父节点都小于子节点
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//取堆顶元素，小堆取的是最小值，大堆取的是最大值
HPDataType HPTop(HP* php);//删除堆顶的数据
void HPPop(HP* php);//判空函数
bool HPEmpty(HP* php);

🏝1.初始化堆：

void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}

🏝2.堆的销毁：

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->capacity = php->size = 0;
}

🏝3.堆的插入：

向上调整函数是往上遍历，当父节点大于子节点，就进行交换数据，循环结束的条件是当孩子节点到达根节点，一直这样循环就可以符合小堆的结构。每次调整都把最小的往上移。

//交换两个数的函数
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;
}//向上调整函数
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)    //如果循环的条件为parent>=0,循环也会巧合的结束，但是这种情况是不可取的{if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}//堆的插入，以小堆为例，小堆：父节点都小于子节点
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->capacity == php->size){size_t newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size++] = x;AdjustUp(php->a,php->size - 1);
}

🏝4.删除堆顶元素：

//交换两个数的函数
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size)
{//假设法，先假设左孩子比右孩子小int parent = 0;int child =  parent* 2 + 1;while (child < size){if (child+1<size&&a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//删除堆顶的数据
void HPPop(HP* php)
{//先交换堆顶元素和堆的最后一个元素php->size--;Swap(&php->a[0], &php->a[php->size]);AdjustDown(php->a, php->size);
}

🏝5.取堆顶元素和判空元素：

//删除堆顶的数据
void HPPop(HP* php)
{//先交换堆顶元素和堆的最后一个元素php->size--;Swap(&php->a[0], &php->a[php->size]);AdjustDown(php->a, php->size);
}//判空函数
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}