【计算理论】【《计算理论导引(原书第3版)》笔记】第〇章:绪论

文章目录

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    • 第〇章:绪论
      • 0.1|自动机、可计算性与复杂性
        • 计算复杂性理论
        • 可计算性理论
        • 自动机理论
      • 0.2|数学概念和术语
      • 0.3|定义、定理和证明
      • 0.4|证明的类型
        • 构造性证明
          • 示例
            • 定理
            • 证明
        • 反证法
          • 示例
            • 定理
            • 证明
        • 归纳法
          • 示例
            • 定理
            • 证明

第〇章:绪论


0.1|自动机、可计算性与复杂性

计算复杂性理论
  • 某些问题很难计算,某些问题容易计算
可计算性理论
  • 一些基本问题是不能用计算机解决的,例如确定一个数学命题是真或是假
自动机理论
  • 自动机理论阐述了计算的数学模型的定义和性质

0.2|数学概念和术语

集合
  • 如果集合要考虑元素出现的次数,则称作多重集合
关系
等价关系
  • 一种特殊类型的二元关系,满足 3 3 3个条件
    • R R R是自反的,即对每一个 x x x x R x x R x xRx
    • R R R是对称的,即对每一个 x x x y y y x R y x R y xRy y R x y R x yRx
    • R R R是传递的,即对每一个 x x x y y y z z z x R y x R y xRy y R z y R z yRz x R z x R z xRz
简单路径
  • 没有顶点重复的路径
连通图
  • 每一对顶点之间都有一条路径的图
  • 一条起点和终点相同的路径
强连通图
  • 每一个顶点到另一个顶点都有一条有向路径的图
字符串和语言
字母表上的字符串
  • 字母表中符号的有穷序列
空串
  • 记为 ε \varepsilon ε
w w w的反转(倒序)
  • 按照相反的顺序写 w w w所得到的字符串,记作 w R w^{R} wR
x x x y y y的连接
  • y y y附加在 x x x后面得到的字符串
字符串顺序
  • 在字典序基础上将短的字符串排在长的字符串前面
语言
  • 字符串的集合

  • 无前缀语言:如果语言中任何一个成员都不是其他成员的真前缀,那么该语言是无前缀的


0.3|定义、定理和证明

定理
  • 定理:被证明为真的数学命题
证明
P P P仅当 Q Q Q
  • P P P为真,则 Q Q Q为真
P P P Q Q Q
  • Q Q Q为真,则 P P P为真

0.4|证明的类型

构造性证明
示例
定理
  • 如果图中每一个顶点的度数都为 k k k,则称这个图是 k k k正则的
  • 对于每一个大于 2 2 2的偶数 n n n,存在一个有 n n n个顶点的 3 3 3正则图
证明
  • n n n是大于 2 2 2的偶数,现构造有 n n n个顶点的图 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E) G G G的顶点集为 V = { 0 , 1 , ⋯ , n − 1 } V = \set{0 , 1 , \cdots , n - 1} V={0,1,,n1},边集为 E = { { i , i + 1 } ∣ 0 ≤ i ≤ n − 2 } ∪ { { n − 1 , 0 } } ∪ { { i , i + n / 2 } ∣ 0 ≤ i ≤ n / 2 − 1 } E = \set{\set{i , i + 1} \mid 0 \leq i \leq n - 2} \cup \set{\set{n - 1 , 0}} \cup \set{\set{i , i + n / 2} \mid 0 \leq i \leq n / 2 - 1} E={{i,i+1}0in2}{{n1,0}}{{i,i+n/2}0in/21}
反证法
  • 假设定理为假,证明这个假设会导致一个明显的错误结论,故而相矛盾
示例
定理
  • 2 \sqrt{2} 2 是无理数
证明
  • 假设 2 \sqrt{2} 2 是有理数, 2 = m n \sqrt{2} = \cfrac{m}{n} 2 =nm m m m n n n都是整数且互质

  • n 2 = m n \sqrt{2} = m n2 =m

  • 2 n 2 = m 2 2 n^{2} = m^{2} 2n2=m2,由于 m 2 m^{2} m2是整数 n 2 n^{2} n2 2 2 2倍,故 m 2 m^{2} m2是偶数,所以 m m m是偶数,对于某个整数 k k k m = 2 k m = 2k m=2k

  • 2 n 2 = ( 2 k ) 2 = 4 k 2 2 n^{2} = (2k)^{2} = 4 k^{2} 2n2=(2k)2=4k2

  • n 2 = 2 k 2 n^{2} = 2 k^{2} n2=2k2,故 n 2 n^{2} n2是偶数,所以 n n n是偶数,于是 m m m n n n都是偶数,与 m m m n n n互质矛盾

  • 所以 2 \sqrt{2} 2 是无理数

归纳法
示例
定理
  • P P P为贷款原始数额, I > 0 I > 0 I>0为贷款的年利率, I = 0.06 I = 0.06 I=0.06表示年利率为 6 % 6 \% 6% Y Y Y为月付款数, M = 1 + I / 12 M = 1 + I / 12 M=1+I/12为月倍增系数, P t P_{t} Pt为在 t t t个月后未偿还清的贷款余额,对于每一个 t ≥ 0 t \geq 0 t0 P t = P M t − Y ( M t − 1 M − 1 ) P_{t} = P M^{t} - Y \left(\cfrac{M^{t} - 1}{M - 1}\right) Pt=PMtY(M1Mt1)
证明
  • 归纳基础
    • t = 0 t = 0 t=0时, P 0 = P M 0 − Y ( M 0 − 1 M − 1 ) = P P_{0} = P M^{0} - Y \left(\cfrac{M^{0} - 1}{M - 1}\right) = P P0=PM0Y(M1M01)=P,成立
  • 归纳步骤
    • 对于每一个 k ≥ 0 k \geq 0 k0,假设当 t = k t = k t=k时公式成立, P k = P M k − Y ( M k − 1 M − 1 ) P_{k} = P M^{k} - Y \left(\cfrac{M^{k} - 1}{M - 1}\right) Pk=PMkY(M1Mk1)
    • P k + 1 = P k M − Y = [ P M k − Y ( M k − 1 M − 1 ) ] M − Y = P M k + 1 − Y ( M k + 1 − M M − 1 ) − Y ( M − 1 M − 1 ) = P M k + 1 − Y ( M k + 1 − 1 M − 1 ) \begin{aligned} P_{k + 1} = P_{k} M - Y = \left[P M^{k} - Y \left(\cfrac{M^{k} - 1}{M - 1}\right)\right] M - Y &= P M^{k + 1} - Y \left(\cfrac{M^{k + 1} - M}{M - 1}\right) - Y \left(\cfrac{M - 1}{M - 1}\right) \\ &= P M^{k + 1} - Y \left(\cfrac{M^{k + 1} - 1}{M - 1}\right) \end{aligned} Pk+1=PkMY=[PMkY(M1Mk1)]MY=PMk+1Y(M1Mk+1M)Y(M1M1)=PMk+1Y(M1Mk+11)
    • 于是,当 t = k + 1 t = k + 1 t=k+1时公式成立

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