C++进阶：红黑树介绍及模拟实现

上次介绍了AVL树：C++进阶：AVL树详解及模拟实现（图示讲解旋转过程）

今天就来紧接着来红黑树啦!!!

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1.红黑树介绍

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个表示颜色的存储位，可以是红色（Red）或黑色（Black）。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为$O(logN)$

约束规则

1. 每个结点是红色或者黑色

2. 根节点是黑色

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（不能有连续的红节点）

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点

5. 叶子节点（NIL节点）是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

2.项目文件规划

头文件RBTree.h：进行模拟的编写

源文件test.cpp：进行测试，检查代码逻辑是否满足期望

3.整体框架（节点和Tree）

enum Colour//使用枚举来定义，后面模拟哈希时也会用到类似的
{RED,BLACK
};template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;//左节点RBTreeNode<K, V>* _right;//右节点RBTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点Colour _col;//颜色，红和黑嘛pair<K,V> _kv;//节点里存pairRBTreeNode(const pair<K, V>& kv)//都直接在初始化列表里初始化了:_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)//这里新插入的节点一定要是红色，黑色的话会直接破坏规则{}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;//名字太长了，叫Node也更好理解
public:private:Node* _root = nullptr;//给上缺省值
};

4.RBL树的新节点插入

基本步骤：

1. 查找插入位置： 首先，我们需要找到新节点应该插入的位置。从根节点开始，按照二叉搜索树的性质，逐级向左或向右比较键值，直到找到一个合适的位置。

2. 插入新节点： 找到插入位置后，我们创建一个新的节点，颜色为红，并将其插入到树中。如果树为空，则新节点成为树的根节点。否则，将新节点插入到合适的位置，使得树仍然保持二叉搜索树的性质。

3. 插入后有需要变化时情况很多，下面具体分析

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

如果新插入节点的父亲节点是黑，那根本不会违反规则，如果要调整只有如下情况：

bool Insert(const pair<K,V> kv){if (_root == nullptr)//如果为空，直接更换新节点{_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//注意默认是红，这里改成黑return true;}Node* parent = nullptr;//存一下，新根才能链接Node* cur = _root;while (cur)//开始找插入位置{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;//不能有相等的}}cur = new Node(kv); //这是默认红色的if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//新节点链接成功了while (parent != nullptr && parent->_col == RED)//父亲节点存在且是红进来，黑的直接满足不用调整{//这里进行处理}_root->_col = BLACK;//最后直接改根节点，不用再具体考虑return true;}

4.1 叔叔节点存在且为红

以下步骤来调整：

1. 将父节点和叔叔节点都改为黑色。
2. 将祖父节点改为红色。
3. 将当前节点指向祖父节点，并将祖父节点设为当前节点的父节点(开始向上走)。

4.2 叔叔节点不存在

如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4: 每条路径黑色节点个数相同。

1. p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

2. p、g变色—>p变黑，g变红

void RotateL(Node* parent)//左旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}}void RotateR(Node* parent)//右旋{++rotateSize;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}

4.3叔叔节点存在而且为黑（单旋情况，左子树的左，和右子树的右）

如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色

4.4叔叔节点存在而且为黑（双旋情况，左子树的右，和右子树的左）

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，左右双旋+变色
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，右左双旋 +变色

4.5完整版Insert（）

bool Insert(const pair<K,V> kv){if (_root == nullptr)//如果为空，直接更换新节点{_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//注意默认是红，这里改成黑return true;}Node* parent = nullptr;//存一下，新根才能链接Node* cur = _root;while (cur)//开始找插入位置{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;//不能有相等的}}cur = new Node(kv); //这是默认红色的if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//新节点链接成功了while (parent != nullptr && parent->_col == RED)//父亲节点存在且是红进来，黑的直接满足不用调整{Node* grandfather = parent->_parent;//接下来分两种：parent是grandfather左或者右if (parent == grandfather->_left)//左{Node* uncle = grandfather->_right;//情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){//先变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上走cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况二：叔叔不存在或者存在且为黑{if (cur == parent->_left)//cur在parent左，单旋{//       g//    p    u// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else//cur在parent右，双旋{//       g//    p     u//      cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}//情况二一旦旋转完了，不用向上了break;}else//parent是grandfather右{Node* uncle = grandfather->_left;// 情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑{// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}break;}}_root->_col = BLACK;//最后直接改根节点，不用再具体考虑return true;}

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5.中序方便过会测试

	void InOrder(){_InOrder(_root);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first<< endl;_InOrder(root->_right);}

6.编写函数看是否满足要求

就从规定出发：

1. 根节点不是黑的不满足
2. 不是每条路径的黑色节点数量都相同
3. 存在连续的红节点了

这些都是不满足要求

	bool IsBalance(){if (_root->_col == RED){return false;}//这里我们先算一条路径的黑色节点数量，作为参考int ref = 0;Node* cur = _root;while (cur){if(cur->_col==BLACK)ref++;cur = cur->_left;//就求最左路径}return Check(_root, 0, ref);}bool Check(Node* cur, int blackNum, int ref){if (cur == nullptr)//==nullptr 说明一条路径走完了{if (blackNum != ref){cout << "黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}//这里开始检查没有连续的红，就看每个cur节点和他的父亲就行if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED){cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (cur->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum)&& Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);//递归进去找}

IsBalance() 函数首先检查根节点的颜色是否为红色，如果是，则不满足红黑树的性质。然后，通过调用 Check() 函数来递归检查每个节点，确保在每条路径上没有连续的红色节点，并统计路径上的黑色节点数量，最后与参考值进行比较。

Check() 函数中，递归遍历每个节点，并检查其颜色。如果当前节点为红色，并且其父节点也为红色，则说明存在连续的红色节点，不满足红黑树的性质。如果当前节点为黑色，则增加黑色节点计数器。递归地对当前节点的左右子节点进行检查，直到遍历完整棵树的所有路径。

通过这样的检查，我们可以验证红黑树是否满足性质，从而确认树的平衡性。

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7.测试

void TestRBTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15};RBTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}

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8.全部代码

8.1 RBTree.h

#pragma onceenum Colour//使用枚举来定义，后面模拟哈希时也会用到类似的
{RED,BLACK
};template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;//左节点RBTreeNode<K, V>* _right;//右节点RBTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点Colour _col;//颜色，红和黑嘛pair<K,V> _kv;//节点里存pairRBTreeNode(const pair<K, V>& kv)//都直接在初始化列表里初始化了:_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)//这里新插入的节点一定要是红色，黑色的话会直接破坏规则{}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;//名字太长了，叫Node也更好理解
public:bool Insert(const pair<K,V> kv){if (_root == nullptr)//如果为空，直接更换新节点{_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//注意默认是红，这里改成黑return true;}Node* parent = nullptr;//存一下，新根才能链接Node* cur = _root;while (cur)//开始找插入位置{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;//不能有相等的}}cur = new Node(kv); //这是默认红色的if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//新节点链接成功了while (parent != nullptr && parent->_col == RED)//父亲节点存在且是红进来，黑的直接满足不用调整{Node* grandfather = parent->_parent;//接下来分两种：parent是grandfather左或者右if (parent == grandfather->_left)//左{Node* uncle = grandfather->_right;//情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){//先变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上走cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况二：叔叔不存在或者存在且为黑{if (cur == parent->_left)//cur在parent左，单旋{//       g//    p    u// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else//cur在parent右，双旋{//       g//    p     u//      cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}//情况二一旦旋转完了，不用向上了break;}else//parent是grandfather右{Node* uncle = grandfather->_left;// 情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑{// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}break;}}_root->_col = BLACK;//最后直接改根节点，不用再具体考虑return true;}void RotateL(Node* parent)//左旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}}void RotateR(Node* parent)//右旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}void InOrder(){_InOrder(_root);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first<< endl;_InOrder(root->_right);}bool IsBalance(){if (_root->_col == RED){return false;}//这里我们先算一条路径的黑色节点数量，作为参考int ref = 0;Node* cur = _root;while (cur){if(cur->_col==BLACK)ref++;cur = cur->_left;//就求最左路径}return Check(_root, 0, ref);}bool Check(Node* cur, int blackNum, int ref){if (cur == nullptr)//==nullptr 说明一条路径走完了{if (blackNum != ref){cout << "黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}//这里开始检查没有连续的红，就看每个cur节点和他的父亲就行if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED){cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (cur->_col == BLACK){blackNum++;}return Check(cur->_left, blackNum, ref)&& Check(cur->_right, blackNum, ref);//递归进去找}private:Node* _root = nullptr;//给上缺省值
};void TestRBTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15};RBTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}

8.2 test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
using namespace std;#include"RBTree.h"int main()
{TestRBTree1();return 0;
}

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今天就到这里啦！！