【数据结构】二叉树(Binary Tree)

文章目录

一、树的概念及结构
二、二叉树的概念及结构
- 1.二叉树的概念
- 2.特殊的二叉树
- 3.二叉树的性质
三、二叉树的存储
- 顺序存储
- 链式存储
四、二叉树的实现
- 1.创建二叉树
- 2.二叉树的遍历
- - 前序遍历
  - 中序遍历
  - 后序遍历
  - 层序遍历
  - 根据遍历顺序创建二叉树
- 3.二叉树的基本操作
- - 1.总结点个数
  - 2.二叉树高度
  - 3.第K层结点个数
  - 4.查找
  - 5.判断二叉树是否是完全二叉树
- 4.销毁二叉树

一、树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。它看起来像一棵倒挂的树，根朝上，而叶子朝下，所以我们把它叫做为树。
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根结点：没有前驱结点，是当前树中所有结点的祖先。

除根节点外，其余结点被分成一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为3。

叶子节点：度为0的节点称为叶子节点；如上图：E、F、G为叶子节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点，B是E的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的子节点，F是D的子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C、D是兄弟节点。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为3.

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次/深度；如上图：树的高度为3

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：E、F互为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二、二叉树的概念及结构

1.二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树，每个结点最多只能有两个子结点，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树可以分为三个部分：根、左子树、右子树，每颗子树又可以划分为这三个部分，一直递归到叶子结点，叶子结点是其本身的根结点。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
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二叉树有五种基本形态：空树(B的右子树)、只有根节点(D、E、F)、只有左子树(B)、只有右子树、左右子树(A、C)都存在。

2.特殊的二叉树

满二叉树：除了叶子结点之外的所有结点都有两个子结点。如果一个满二叉树的层数为K，那么结点总数是2⁰ + 2¹ + … + 2^k-1 = 2^k - 1个。

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完全二叉树：除了最后一层，完全二叉树的每一层从左到右都是满的。也就是说，如果完全二叉树的层数为 h，那么前 h-1 层一定是一个满二叉树。
满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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斜二叉树：除了叶子结点外，所有结点都只有一个结点，且是一个方向的结点，要么都只有左结点，要么都只有右结点。

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3.二叉树的性质

1.任意二叉树第 i 层最多有2^i-1个结点。 ( i $\geq$ 1)
2.深度为 h 的任意二叉树的最大结点总数为2^h-1。( h $\geq$ 1)
3.任意二叉树中，度为0的叶子结点个数永远比度为2的结点个数多一个。
4.对于一个有n个结点的满二叉树，其深度 h= $log_2$ (n+1)（向上取整）

三、二叉树的存储

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储

二叉树的顺序结构存储就是使用数组来存储。按照层序遍历的顺序（从上到下，从左到右）依次将结点存储在数组中，如果某个结点的左结点或者右结点不存在，则对应的数组的位置就为空，不存储元素。
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二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
二叉树以数组方式存储，父子结点下标的关系：左结点下标 = 2*父结点下标+1，右结点下标 = 2*父结点下标+2，父结点下标 = （任意孩子结点下标-1）/ 2。
由上图可以看出，如果是非完全二叉树用数组来表示，则会存在空间浪费，所以使用数组一般只适合表示完全二叉树。而对于一般的二叉树，常用链式存储结构。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来存储该结点左孩子和右孩子所在结点的存储地址。

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四、二叉树的实现

接下来我们用链表来实现二叉树的创建与遍历。

二叉树定义

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;//数据struct BinaryTreeNode* left;//左孩子结点struct BinaryTreeNode* right;//右孩子结点
}BTNode;

1.创建二叉树

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以上图为例建立一棵二叉树。
以下代码并不是真正创建二叉树的方式，只是为了方便大家理解，所以手动快速创建一棵简单的二叉树。等后面学完二叉树遍历之后，我们再讲解二叉树的真正创建方式。

//动态申请结点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (NULL == node){perror("malloc");return NULL;}node->data = x;node->left = node->right = NULL;return node;
}
//创建二叉树
BTNode* CreatTree()
{BTNode* node1 = BuyNode('A');BTNode* node2 = BuyNode('B');BTNode* node3 = BuyNode('C');BTNode* node4 = BuyNode('D');BTNode* node5 = BuyNode('E');BTNode* node6 = BuyNode('F');node1->left = node2;node1->right = node3;node2->right = node4;node3->left = node5;node4->left = node6;return node1;
}

2.二叉树的遍历

前面我们讲过，二叉树分为：根、左子树、右子树。每个结点的左右子树又可以划分为这三个部分，直到最后一层的叶子结点，叶子结点是其本身的根结点，左右结点为空。根据这一特点，可以看出，二叉树定义是递归式的。
二叉树遍历是按照某种特定的规则，依次访问每个节点，并且每个节点只访问一次。根据根节点的访问顺序分为三种遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

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前序遍历

前序遍历的访问顺序：根结点、左子树、右子树。
其中，对于每棵子树，访问顺序也是根结点、左子树、右子树，一直递归到空结点。

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在这里插入图片描述相同颜色框的是相同根节点的左右子树

比如上图的前序遍历访问顺序为：A B NULL D F NULL NULL NULL C E NULL NULL NULL
而我们一般不打印空结点，所以前序遍历结果为：A B D F C E

//前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{if (NULL == root){//printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);//打印根节点的值PreOrder(root->left);//遍历子树PreOrder(root->right);//遍历右子树
}

中序遍历

中序遍历的访问顺序：左子树、根结点、右子树。
还是拿上图示例，中序遍历访问顺序为：NULL B NULL F NULL D NULL A NULL E NULL C NULL
去掉空结点后，中序遍历结果为：B F D A E C
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{if (NULL == root){//printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->data);InOrder(root->right);
}

后序遍历

中序遍历的访问顺序：左子树、右子树、根结点。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述上图二叉树的后序遍历访问顺序为：NULL NULL NULL F NULL D B NULL NULL E NULL C A
去掉空结点后，后序遍历结果为：F D B E C A

//后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{if (NULL == root){//printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}

层序遍历

二叉树的层次遍历最好理解，从二叉树的根结点开始，从上到下每一层按照从左到右的顺序遍历。比如上图中二叉树的层序遍历为：A B C D E F

前面三种遍历都是以递归的形式，而层序遍历可以用队列来实现非递归遍历。前面我们已经用C语言写过队列（点击跳转文章）结构，可以在vs中直接将队列的相关代码copy过来使用，在源文件和头文件中直接添加现有项即可。

并将队列中的类型改为二叉树类型

//typedef int QDataType;
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;

具体过程是：先将当前节点入队列，访问当前结点，再将当前结点出队列。然后将当前结点的左结点和右结点按顺序入队，如果为空结点则不用入队，直到队列为空。

//层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{assert(root);Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", front->data);if(front->left != NULL)QueuePush(&q, front->left);if (front->right != NULL)QueuePush(&q, front->right);}QueueDestroy(&q);printf("\n");
}

根据遍历顺序创建二叉树

数组a存储前序遍历的顺序，比如通过前面我们知道二叉树的前序遍历结果为A B NULL D F NULL NULL NULL C E NULL NULL NULL ；我们将NULL替换成字符#表示空。数组下标用指针接收，否则递归函数中不会改变实参。

//根据前序遍历的顺序二叉树创建
BTNode* BTreeCreate_PreOrder(BTDataType* a, int* pi)
{// 通过前序遍历的数组"AB#DF###CE###"构建二叉树if (a[*pi] == '#'){(*pi)++;//数组下标+1return NULL;}BTNode* node = BuyNode(a[*pi]);//根据数组元素构建二叉树结点(*pi)++;node->left = BTreeCreate_PreOrder(a, pi);node->right = BTreeCreate_PreOrder(a, pi);return node;
}

根据中序/后序顺序来构建二叉树同理。

int main()
{char a[] = "AB#DF###CE###";int i = 0;BTNode* root = BTreeCreate_PreOrder(a, &i);//BTNode* root = BTreeCreate();PreOrder(root);printf("\n");InOrder(root);printf("\n");PostOrder(root);printf("\n");return 0;
}

3.二叉树的基本操作

在前面二叉树递归遍历的基础上，我们可以实现一些二叉树的基本操作。

1.总结点个数

转换成子问题：二叉树总结点个数=1（根节点个数）+ 左子树的结点个数 + 右子树的节点个数。很容易想到递归。

//二叉树的总结点个数
int BTreeSize(BTNode* root)
{if (NULL == root){return 0;}return 1 + BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right);
}

2.二叉树高度

当前树的高度 = 左右子树中比较高的高度+1

//二叉树的高度
int BTreeLevel(BTNode* root)
{if (NULL == root)//空结点则返回0{return 0;}int leftLevel = BTreeLevel(root->left);//左子树的高度int rightLevel = BTreeLevel(root->right);//右子树的高度return leftLevel > rightLevel ? leftLevel + 1 : rightLevel + 1;
}

最好不要写成下面这样，会造成重复递归，判断时遍历左右子树递归两次，返回结果时又递归一次，栈帧开销会很大。

return BTreeLevel(root->left) > BTreeLevel(root->right) ? BTreeLevel(root->left) + 1 : BTreeLevel(root->right) + 1;

3.第K层结点个数

求第K层结点个数，转换成子问题：求左子树第K-1层结点个数 + 右子树第K-1层结点个数

//第k层结点的个数
int BTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);//默认根节点为第一层，所以不存在第0层if (NULL == root)//空结点{return 0;}if (1 == k)//遍历到第k层{return 1;}return BTreeLevelKSize(root->left, k-1)+BTreeLevelKSize(root->right, k-1);
}

4.查找

//查找值为x的结点
BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (NULL == root)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* left = BTreeFind(root->left, x);if (left)//左子树找到则返回return left;//左子树未找到，只可能存在于右子树return BTreeFind(root->right, x);
}

5.判断二叉树是否是完全二叉树

完全二叉树按层序走，非空结点一定是连续的。每次将当前结点的左右结点入队列，不用判空，空结点也入队列。遇到第一个空结点时，停止入队，开始判断队列中的元素是否都为空，若出现非空结点，说明不是完全二叉树，反之则是完全二叉树。

//判断二叉树是否是完全二叉树
bool BTreeComplete(BTNode* root)
{assert(root);Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);//完全二叉树按层序走，非空结点一定是连续的if (NULL == front)//遍历到第一个空结点则退出循环，进入下个while循环判断{break;}else{//不为空则将左右孩子结点入队QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}}//如果是完全二叉树，则队列中元素全是NULLwhile (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);//有非空结点则说明非空结点不是完全连续，说明不是完全二叉树if (front != NULL){QueueDestroy(&q);//返回之前及时释放空间,防止内存泄露return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}

4.销毁二叉树

根节点最后释放，否则无法访问左右子树。

//二叉树销毁（后序遍历）
void BTreeDestroy(BTNode* root)
{if (NULL == root)return;BTreeDestroy(root->left);BTreeDestroy(root->right);free(root);root = NULL;
}

完整代码：链式二叉树