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题目描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

方法一：一次遍历

解题步骤：

1. 初始化两个变量：min_price 为正无穷大，用于记录遍历过程中遇到的最低价格；max_profit 为0，用于记录最大利润。
2. 遍历价格数组，对于每个价格，更新 min_price，并计算以当前价格卖出的利润，更新 max_profit。

Python 代码示例

def maxProfit(prices):min_price = float('inf')max_profit = 0for price in prices:if price < min_price:min_price = priceelif price - min_price > max_profit:max_profit = price - min_pricereturn max_profit

方法一通过一次遍历来解决买卖股票的最佳时机问题，下面用 ASCII 图形来详细解释这个方法的工作原理。

一次遍历的图解

考虑一个具体的价格数组示例：

prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4]

我们需要找到买入和卖出的最佳时机，以获取最大利润。下面的图解将展示如何在一次遍历中实现这一点。

初始状态

1. 初始化 min_price 为正无穷大。
2. 初始化 max_profit 为0。

遍历过程

初始: min_price = inf, max_profit = 0第1天: price = 7min_price = min(inf, 7) = 7max_profit = max(0, 7 - 7) = 0状态: min_price = 7, max_profit = 0第2天: price = 1min_price = min(7, 1) = 1max_profit = max(0, 1 - 1) = 0状态: min_price = 1, max_profit = 0第3天: price = 5min_price = min(1, 5) = 1max_profit = max(0, 5 - 1) = 4状态: min_price = 1, max_profit = 4第4天: price = 3min_price = min(1, 3) = 1max_profit = max(4, 3 - 1) = 4状态: min_price = 1, max_profit = 4第5天: price = 6min_price = min(1, 6) = 1max_profit = max(4, 6 - 1) = 5状态: min_price = 1, max_profit = 5第6天: price = 4min_price = min(1, 4) = 1max_profit = max(5, 4 - 1) = 5状态: min_price = 1, max_profit = 5

结果

• 最终得到的最大利润是 5，即在价格为 1 的第2天买入，在价格为 6 的第5天卖出。

总结步骤

• 初始化两个变量 min_price 和 max_profit。
• 遍历价格数组，更新 min_price 为遇到的最小价格。
• 对每个价格，计算如果当天卖出的利润，并更新 max_profit。
• 最后的 max_profit 就是最大利润。

这种方法简单而有效，只需一次遍历就能找到最大利润，同时也避免了复杂的计算和额外的空间开销。

方法二：动态规划

解题步骤：

1. 使用一个数组 dp 来记录每天结束时可能得到的最大利润。
2. 第一天的利润为0；从第二天开始，更新当前最小购买价格，并计算当前可能的最大利润。

Python 代码示例

def maxProfit(prices):if not prices:return 0n = len(prices)min_price = prices[0]max_profit = 0for i in range(1, n):min_price = min(min_price, prices[i])max_profit = max(max_profit, prices[i] - min_price)return max_profit

方法三：分治法

解题步骤：

1. 将价格数组分为两部分，递归地找出左右两部分的最大利润。
2. 计算跨越两部分的最大利润，即左侧的最低价格和右侧的最高价格之差。
3. 最大利润是左侧、右侧和跨中三者的最大值。

Python 代码示例

def maxProfit(prices):def maxCrossingProfit(left, right):if left == right:return 0mid = (left + right) // 2min_left = min(prices[left:mid+1])max_right = max(prices[mid+1:right+1])return max(0, max_right - min_left)def divideAndConquer(left, right):if left >= right:return 0mid = (left + right) // 2left_profit = divideAndConquer(left, mid)right_profit = divideAndConquer(mid + 1, right)cross_profit = maxCrossingProfit(left, right)return max(left_profit, right_profit, cross_profit)return divideAndConquer(0, len(prices) - 1)

方法四：前缀最小值与后缀最大值

解题步骤：

1. 创建两个数组，分别存储从左到右的前缀最小值和从右到左的后缀最大值。
2. 遍历 prices 数组，计算利用前缀最小和后缀最大计算可能的最大利润。

Python 代码示例

def maxProfit(prices):n = len(prices)if n == 0:return 0min_prefix = [0] * nmax_suffix = [0] * nmin_prefix[0] = prices[0]for i in range(1, n):min_prefix[i] = min(min_prefix[i-1], prices[i])max_suffix[n-1] = prices[n-1]for i in range(n-2, -1, -1):max_suffix[i] = max(max_suffix[i+1], prices[i])max_profit = 0for i in range(n):max_profit = max(max_profit, max_suffix[i] - min_prefix[i])return max_profit

方法五：Kadane算法变形

解题步骤：

1. 理解为找最大子数组和的问题，其中“价格差”数组是原数组相邻元素的差值。
2. 使用Kadane算法找到最大子数组和，即为最大利润。

Python 代码示例

def maxProfit(prices):max_current = max_global = 0for i in range(1, len(prices)):max_current = max(0, max_current + prices[i] - prices[i-1])if max_current > max_global:max_global = max_currentreturn max_global

算法分析

• 时间复杂度：所有方法均为 (O(n))，其中 (n) 是数组长度，因为每个方法都只遍历了一次或两次数组。
• 空间复杂度：
  • 方法一和五：(O(1))，只使用了常数空间。
  • 方法二、三和四：(O(n))，因为使用了额外的数组。

不同算法的优劣势对比

• 一次遍历（方法一）和Kadane算法变形（方法五）非常高效，简单，易于实现。
• 动态规划（方法二）直观，易于理解，常用于面试中解释。
• 分治法（方法三）和前缀最小值与后缀最大值（方法四）提供了不同的视角，适合深入理解问题的结构，但实现较为复杂。

应用示例

这些方法可以应用于金融分析领域，特别是在算法交易和股票市场分析中，用于计算和预测最优买卖点，从而最大化投资回报。