题目描述

一个 N×M 的方格矩阵，每一个方格中包含一个字符 O 或者字符 X。

要求矩阵中不存在连续一行 3 个 X 或者连续一列 3 个 X。

问这样的矩阵一共有多少种？

输入描述

输入一行包含两个整数 N,M (1≤N,M≤5)。

输出描述

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

示例

输入

2 3

输出

49

解题思路

考虑到每一个格子的位置只有两种状态，以及题目数据规模较小，可以考虑到状态压缩dp思路，也可以通过位运算配合dfs排列组合进行验证。

我们可以用位运算获得所有满足要求的行，即一行没有三个连续的1的所有情况，本题的关键也正是用位运算技巧代替X和O符号。

如果使用dfs配合排列组合验证，代码写起来就会比较简单：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;public class Main1 {static int n, m;static ArrayList<Integer> row;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();row = new ArrayList<>();outer:for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {int test = 7;while (test <= i) {if ((i & test) == test) {continue outer;}test <<= 1;}row.add(i);}matrix = new int[n];dfs(0);System.out.println(ans);}static int[] matrix;static int ans = 0;static boolean check() {for (int i = 0; i + 2 < n; i++) {if ((matrix[i] & matrix[i + 1] & matrix[i + 2]) != 0) {return false;}}return true;}static void dfs(int s) {if (s == n) {if (check()) {ans++;}return;}for (int e : row) {matrix[s] = e;dfs(s + 1);}}
}

如果使用状态压缩dp，对于这道题而言建模起来就比较有难度。

定义dp[i][j][k]为，当前为第i行时，本行的合法状态为j，前一行的合法状态为k时的排列数。

在循环计算中，我们内层循环需要编写3层，一次搜索3行的状态进行验证，即下面代码中的j、k、l分别表示三行的状态，最后将最后一行所有的状态的情况加起来，就是答案：

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();ArrayList<Integer> row = new ArrayList<>();outer:for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {int test = 7;while (test <= i) {if ((i & test) == test) {continue outer;}test <<= 1;}row.add(i);}int[][][] dp = new int[n][1 << m][1 << m];for (int e : row) {dp[0][e][0] = 1;}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < row.size(); j++) {for (int k = 0; k < row.size(); k++) {for (int l = 0; l < row.size(); l++) {if ((row.get(j) & row.get(k) & row.get(l)) == 0) {dp[i][row.get(j)][row.get(k)] += dp[i - 1][row.get(k)][row.get(l)];}}}}}long ans = 0;for (int i = 0; i < row.size(); i++) {for (int j = 0; j < row.size(); j++) {ans += dp[n - 1][row.get(i)][row.get(j)];}}System.out.println(ans);}
}