【数学】三角函数相关

目录

一、三角函数

二、诱导公式

1.介绍

2.示例

三、其它重要公式


ID:HL_5461

一、三角函数

对于如图所示三角形:

三角函数公式表达其它关系
正弦函数sin\theta =\frac{A}{C}/
余弦函数cos\theta =\frac{B}{C}/
正切函数tan\theta =\frac{A}{B}=\frac{sin\theta }{cos\theta }
余切函数cot\theta = \frac{B}{A}=\frac{1}{tan\theta }
正割函数sec\theta =\frac{C}{B}=\frac{1}{cos\theta }
余割函数csc\theta = \frac{C}{A}=\frac{1}{sin\theta }

二、诱导公式

1.介绍

奇变偶不变,符号看象限

对于一个角度\theta =\frac{k\pi }{2}\pm \alpha的三角函数:

k为奇数,正变余,余变正;k为偶数,则不变。

添上\alpha看做锐角时原三角函数值的正负号(如下图按三角函数公式看正负)

2.示例

例1:对于cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )

k=3为奇数,变为sin。

\alpha看做锐角,\theta =\frac{3\pi }{2}-\alpha落在第三象限,

此时A<0,B<0,C>0\Rightarrow cos\theta =\frac{B}{C}<0,所以变换后前面添负号

\therefore cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-sin\alpha

例2:对于tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )

k=2为偶数,不变,还是tan。

\alpha看做锐角,\theta =\frac{2\pi }{2}+\alpha落在第三象限,

此时A<0,B<0,C>0\Rightarrow tan\theta =\frac{A}{B}>0,所以变换后仍然为正

\therefore tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )=tan\alpha

例3:对于sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )

k=1为奇数,变为cos。

\alpha看做锐角,\theta =\frac{\pi }{2}+\alpha落在第二象限,

此时A>0,B<0,C>0\Rightarrow sin\theta =\frac{A}{C}>0,所以变换后仍然为正

\therefore sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )=cos\alpha


三、其它重要公式

两角和差sin(\alpha \pm \beta ) =sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta
cos(\alpha \pm \beta ) =cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta

tan(\alpha \pm\beta ) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha \cdot tan\beta }

二倍角sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha
cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha
2cos^2\alpha -1
1-2sin^2\alpha
tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }
万能公式sin2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1+tan^2\alpha }
cos2\alpha =\frac{1-tan^2\alpha }{1+tan^2\alpha }
tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }
其它sin^{2}\theta +cos^2\theta =1
sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )-cos(\alpha -\beta )]
cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )+cos(\alpha -\beta )]
sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+ \beta )+sin(\alpha -\beta )]
sin\alpha +sin\beta = 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}
cos\alpha +cos\beta = 2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}
cos\alpha -cos\beta =- 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}

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