如何 O(1) 判断一个数是不是 x 的幂 (x 有限大)

数据在 32 位整数范围内

2 的幂

231. 2 的幂 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数 n，请你判断该整数是否是 2 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。

如果存在一个整数 x 使得 n == 2x ，则认为 n 是 2 的幂次方。

Sol1 位运算

$$n\&n-1=0,那么n是2的整次幂$$

假设 n 的二进制为 $(a10000{)}_2$ , 其中 a 表示若干高位 0, 1 表示最低位的 1。

那么 n-1 的二进制为 $(a01111{)}_2$ , 两者做与运算，得到 $(a0000{)}_2$ 。

也就是说，n & n-1 可以去掉最低位的 1.

而 $2^x$ 的二进制表示只有一个 1，即 :

class Solution {
public:bool isPowerOfTwo(int n) {return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;}
};

Sol2 位运算

$$n\&-n=n,那么n是2的整次幂$$

假设 n 的二进制为 $(a10000{)}_2$ , 其中 a 表示若干高位 0, 1 表示最低位的 1。

那么 -n 的二进制, 将 n 的二进制每一位取反再加 1，为 $(\overline{a}10000{)}_2$ , 两者做与运算，得到 $(01000{)}_2$ 。

也就是说，n & -n 可以得到最低位的1

而 $2^x$ 的二进制表示只有一个 1，即 : n & -n = n

这也是树状数组里面常用的 $lowbit$ 操作

Sol3 算数基本定理

因为在 32 位整数范围内，这个范围内最大的 $2^x$ 是 $2^{30}=1073741824$ ,只要 n 是它的约数就行了。

class Solution {
private:static constexpr int BIG = 1 << 30;public:bool isPowerOfTwo(int n) {return n > 0 && BIG % n == 0;}
};

3 的幂

326. 3 的幂 - 力扣（LeetCode）

Sol1 试除法

我们不断地将 n 除以 3，直到 n=1。如果此过程中 n 无法被 3 整除，就说明 n 不是 3 的幂。

class Solution {
public:bool isPowerOfThree(int n) {while (n && n % 3 == 0) {n /= 3;}return n == 1;}
};

Sol2 算数基本定理

还是找最大的 $3^x$ , 由算数基本定理，他的约数只有 $2^y$ , 其中 $0\le y\le x$

class Solution {
public:bool isPowerOfThree(int n) {return n > 0 && 1162261467 % n == 0;}
};

4 的幂

342. 4的幂 - 力扣（LeetCode）

Sol1 二进制中一的位置

4 的幂一定是 2 的幂，先判定 $n\&-n=n$ ，保证 n 是 2 的幂，此时 n 的二进制表示中只有一个 1, 而且这个 1 一定出现在偶数位上。构造 $\lambda$ , 使得其所有奇数位上都为 1，若 $n\&\lambda \ne 0$ , 那么说明 n 的二进制形式存在奇数位的 1 ，不合法 ；否则，合法。综上 :

class Solution {
public:bool isPowerOfFour(int n) {return n > 0 && ((n & -n) == n) && (n & 0xaaaaaaaa) == 0;}
}; 

Sol2 取模性质

$a^{b}modp=(amodp){)}^{b}modp$

那么 $4^{x}mod3=1^x=1$

如果 n 是 2 的幂，而不是 4 的幂，那么 $n=2\times 4^x$ , 即 $n\equiv 2(mod3)$

class Solution {
public:bool isPowerOfFour(int n) {return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0 && n % 3 == 1;}
};

任意数 x 的幂

运用处理 3 的幂中的 Sol1 试除法即可，实际复杂度是 $lo{g}_x(n)$ 的

或者直接预处理出来数据范围内的所有符合条件的数也可以，是 $lo{g}_x(INT\_MAX)$ 的