从基础到实战的量化交易全流程学习：1.3 数学与统计学基础——概率与统计基础 | 数字特征

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第一部分：概率与统计基础
第2节：数字特征：期望值、方差、协方差与相关系数

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一、期望值（Expected Value）：用“平均值”预测未来

期望值是随机变量的“加权平均”，代表长期来看最可能的“平均结果”，是量化交易中评估策略收益的核心指标。

1. 数学定义与性质

• 离散型随机变量：
  $$E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot P(X=x_i)$$
  例：抛一枚硬币，正面盈利100元（概率0.5），反面亏损50元（概率0.5），期望收益为：
  $$E(X)=100\times 0.5+(-50)\times 0.5=25\text{元}$$

• 连续型随机变量：
  $$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)dx$$
  （$f(x)$ 为概率密度函数，如股票收益率的正态分布）

• 线性性质（关键！）：

  • $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 为常数）
  • 无论 $X$ 和 $Y$ 是否独立，线性性都成立。

2. 量化交易中的应用

• 投资组合预期收益计算：
  假设持有30%的股票A（期望收益15%）和70%的债券B（期望收益5%），组合期望收益为：
  $$E(R)=0.3\times 15\%+0.7\times 5\%=8\%$$

• 策略有效性筛选：
  通过回测计算策略的期望收益 $E(R)$，若 $E(R)<0$（长期亏损），则直接排除。

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二、方差（Variance）与标准差（Standard Deviation）：用“波动”衡量风险

期望值相同的策略，风险可能差异巨大——方差描述收益围绕均值的离散程度，是量化风险的核心指标。

1. 数学定义与性质

• 方差：
  $$\text{Var}(X)=E\left[(X-E(X){)}^2\right]=E(X^2)-[E(X){]}^2$$
  例：上述抛硬币策略，方差为：
  $$\text{Var}(X)=(100-25{)}^2\times 0.5+(-50-25{)}^2\times 0.5=5625$$

• 标准差（方差的平方根）：
  $$\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}$$
  （单位与原变量一致，比方差更直观）

• 性质：

  • $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$（常数 $b$ 不影响波动）
  • 独立变量的和的方差：$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$（若 $X,Y$ 独立）

2. 量化交易中的应用

• 风险度量：
  • 标准差越大，收益波动越剧烈，风险越高。
  • 例：策略A年均收益10%，标准差5%；策略B年均收益10%，标准差20%。虽然期望相同，但策略B的风险远高于策略A。

图1：标准差小（左）的收益更集中在均值附近，风险低；标准差大（右）的收益更分散，风险高。

• 马科维茨有效前沿：
  通过优化组合权重，在给定期望收益下最小化方差（或在给定方差下最大化期望收益），构建“风险-收益”最优的投资组合。

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三、协方差（Covariance）与相关系数（Correlation）：用“联动性”分析资产关系

单个资产的风险容易衡量，但多个资产的“互动”才是组合风险的关键——协方差和相关系数描述变量间的线性关联程度。

1. 协方差：衡量“同方向波动”的强度

• 定义：
  $$\text{Cov}(X,Y)=E\left[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)\right]=E(XY)-{\mu }_X{\mu }_Y$$

  • 正协方差：$X$ 增大时 $Y$ 倾向于增大（如股票与股市指数）。
  • 负协方差：$X$ 增大时 $Y$ 倾向于减小（如股票与黄金）。
  • 绝对值越大：联动性越强；绝对值越小（接近0）：联动性越弱。

• 性质：

  • $\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$（自身协方差即方差）
  • $\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$
  • 独立变量协方差为0（反之不一定成立）。

2. 相关系数：“标准化”的协方差

• 定义：
  $${\rho }_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}(\rho \in [-1,1])$$

  • $\rho =1$：完全正相关（变量同步波动，如同一行业的两只股票）。
  • $\rho =-1$：完全负相关（变量反向波动，如期货对冲组合）。
  • $\rho =0$：无线性相关（可能存在非线性关系）。

• 可视化：散点图与相关系数
  

  图2：从左到右分别为 $\rho =1$（严格正相关）、$\rho =0.5$（正相关）、$\rho =0$（无相关）、$\rho =-1$（严格负相关）。

3. 量化交易中的应用

• 资产配置分散风险：

  • 若两只股票 $\rho =0.3$，组合标准差会低于两者标准差的加权平均，实现“风险分散”。
  • 例：资产A（${\sigma }_A=20\%$）和资产B（${\sigma }_B=15\%$），等权重配置，若 $\rho =0.3$，则组合标准差为：
    $$\sigma =\sqrt{(0.5^2\times 0.2^2)+(0.5^2\times 0.15^2)+2\times 0.5\times 0.5\times 0.3\times 0.2\times 0.15}\approx 12.8\%$$
    低于简单平均 $(20\%+15\%)/2=17.5\%$。

• 多因子模型去冗余：

  • 若两个因子的相关系数 $\rho >0.9$，说明存在严重多重共线性，需剔除其中一个因子。

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四、Python实战：计算投资组合的风险收益指标

import numpy as np# 资产参数：3只股票的期望收益、协方差矩阵、持仓权重
returns = np.array([0.12, 0.08, 0.06])  # 期望收益
cov_matrix = np.array([[0.04, 0.02, 0.01],[0.02, 0.03, 0.015],[0.01, 0.015, 0.02]
])  # 协方差矩阵
weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])     # 权重# 1. 计算组合期望收益
expected_return = np.dot(weights, returns)
print(f"组合期望收益: {expected_return:.4f}")  # 输出：0.1020 (10.2%)# 2. 计算组合方差与标准差
portfolio_var = np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights))
portfolio_std = np.sqrt(portfolio_var)
print(f"组合方差: {portfolio_var:.4f}, 标准差: {portfolio_std:.4f}")  
# 输出：组合方差: 0.0229, 标准差: 0.1513 (15.13%)# 3. 计算资产间相关系数矩阵
corr_matrix = cov_matrix / (np.outer(np.sqrt(np.diag(cov_matrix)), np.sqrt(np.diag(cov_matrix))))
print("相关系数矩阵:\n", np.round(corr_matrix, 2))
# 输出：
# 相关系数矩阵:
#  [[1.  0.58 0.5 ]
#  [0.58 1.   0.75]
#  [0.5  0.75 1.  ]]

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本节总结

• 期望值 是收益的“指南针”，告诉我们长期平均结果。
• 方差/标准差 是风险的“量尺”，衡量收益的波动程度。
• 协方差/相关系数 是联动性的“温度计”，帮助我们分散风险、优化组合。

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