微分方程求解及推导过程

本文将系统地推导微分方程：

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{z}(t)}{\mathrm{d}t}=\mathbf{A}z(t)+\mathbf{B}u(t)$$

的通解过程，并分析其物理意义。

1. 初始条件和假设

设初始条件为：

$$z(0)=z_0$$

其中，$z(t)$ 是状态变量，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 分别为系统的状态矩阵和输入矩阵，$u(t)$ 是输入信号。

2. 拉普拉斯变换

对微分方程两边进行拉普拉斯变换，假设初始状态为 $z(0)=z_0$，并利用拉普拉斯变换的性质：

$$\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\right]=sZ(s)-z(0)$$

得到以下频域方程：

$$sZ(s)-z_0=\mathbf{A}Z(s)+\mathbf{B}U(s)$$

其中，$Z(s)=\mathcal{L}[z(t)]$，$U(s)=\mathcal{L}[u(t)]$。

3. 整理频域方程

将上式整理为：

$$(s\mathbf{I}-\mathbf{A})Z(s)=z_0+\mathbf{B}U(s)$$

进一步得到 $Z(s)$ 的表达式：

$$Z(s)=(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}{z}_0+(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}U(s)$$

4. 逆拉普拉斯变换

对 $Z(s)$ 进行逆拉普拉斯变换，可以得到微分方程的时域解：

$$z(t)=e^{\mathbf{A}t}{z}_0+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$$

解的两部分分别为：

1. 齐次解：$e^{\mathbf{A}t}{z}_0$，表示系统在无输入情况下的自由响应；
2. 特解：${\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$，表示系统受输入 $u(t)$ 驱动产生的强迫响应。

5. 推导过程详解

5.1 第一部分的逆拉普拉斯变换

频域方程的第一部分为：

$$(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}{z}_0$$

根据矩阵指数的性质，矩阵指数的定义和基本性质；$e^{\mathbf{A}t}$ 的拉普拉斯变换为 $(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}$，因此：

$${\mathcal{L}}^{-1}[(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}{z}_0]=e^{\mathbf{A}t}{z}_0$$

这对应系统的自由响应，即在无输入信号时仅由初始条件 $z_0$ 驱动的解。

5.2 第二部分的逆拉普拉斯变换

频域方程的第二部分为：

$$(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}U(s)$$

假设 $U(s)$ 是 $u(t)$ 的拉普拉斯变换，即 $U(s)=\mathcal{L}[u(t)]$。根据卷积定理：

$${\mathcal{L}}^{-1}[(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}U(s)]={\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$$

这对应系统的强迫响应，即由输入信号 $u(t)$ 驱动的解。

6. 合并结果

将自由响应和强迫响应合并，得到微分方程的通解：

$$z(t)=e^{\mathbf{A}t}{z}_0+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$$

其中：

• $e^{\mathbf{A}t}$ 是状态转移矩阵，描述了系统在无输入情况下状态的时间演化；
• 积分项 ${\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$ 表示输入信号 $u(t)$ 对系统状态的累积影响。

7. 矩阵指数的物理意义

矩阵指数 $e^{\mathbf{A}t}$ 是状态转移矩阵，反映了系统的动态特性：

1. 在无输入情况下，$e^{\mathbf{A}t}$ 决定了初始状态 $z_0$ 如何随时间演化；
2. 在有输入的情况下，$e^{\mathbf{A}(t-\tau )}$ 表示过去的输入 $u(\tau )$ 对当前状态 $z(t)$ 的累积影响。

8. 总结

微分方程的通解为：

$$z(t)=e^{\mathbf{A}t}{z}_0+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}u(\tau )\mathrm{d}\tau$$

这一公式清晰地分离了系统的自由响应和强迫响应，是状态方程的一般求解方法，广泛应用于动态系统的建模与分析。