第 8 周 14、 降维(Dimensionality Reduction)

14.6 重建的压缩表示

在以前的视频中，我谈论 PCA 作为压缩算法。在那里你可能需要把 1000 维的数据压缩100 维特征，或具有三维数据压缩到一二维表示。所以，如果这是一个压缩算法，应该能回到这个压缩表示，回到你原有的高维数据的一种近似。

所以，给定的$z^{(i)}$，这可能 100 维，怎么回到你原来的表示$x^{(i)}$，这可能是 1000 维的数组？

PCA 算法，我们可能有一个这样的样本。如图中样本$x^{(1)},x^{(2)}$。我们做的是，我们把这些样本投射到图中这个一维平面。然后现在我们需要只使用一个实数，比如$z^{(1)}$，指定这些点的位置后他们被投射到这一个三维曲面。给定一个点$z^{(1)}$，我们怎么能回去这个原始的二维空间呢？𝑥为 2 维，z 为 1 维，$z=U_{reduce}^{T}x$，相反的方程为：
$x_{appox}=U_{reduce}\ast z,x_{appox}\approx x$
如图：

如你所知，这是一个漂亮的与原始数据相当相似。所以，这就是你从低维表示𝑧回到未压缩的表示。我们得到的数据的一个之间你的原始数据 𝑥，我们也把这个过程称为重建原始数据。

当我们认为试图重建从压缩表示 𝑥 的初始值。所以，给定未标记的数据集，您现在知道如何应用 PCA，你的带高维特征𝑥和映射到这的低维表示𝑧。这个视频，希望你现在也知道如何采取这些低维表示𝑧，映射到备份到一个近似你原有的高维数据。

现在你知道如何实施应用 PCA，我们将要做的事是谈论一些技术在实际使用 PCA 很好，特别是，在接下来的视频中，我想谈一谈关于如何选择𝑘。

14.7 主成分分析法的应用建议

假使我们正在针对一张 100×100 像素的图片进行某个计算机视觉的机器学习，即总共有 10000 个特征。

1. 第一步是运用主成分分析将数据压缩至 1000 个特征
2. 然后对训练集运行学习算法。
3. 在预测时，采用之前学习而来的𝑈𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒将输入的特征𝑥转换成特征向量𝑧，然后再进行预测
   注：如果我们有交叉验证集合测试集，也采用对训练集学习而来的𝑈𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒。

错误的主要成分分析情况：一个常见错误使用主要成分分析的情况是，将其用于减少过拟合（减少了特征的数量）。这样做非常不好，不如尝试正则化处理。原因在于主要成分分析只是近似地丢弃掉一些特征，它并不考虑任何与结果变量有关的信息，因此可能会丢失非常重要的特征。然而当我们进行正则化处理时，会考虑到结果变量，不会丢掉重要的数据。

另一个常见的错误是，默认地将主要成分分析作为学习过程中的一部分，这虽然很多时候有效果，最好还是从所有原始特征开始，只在有必要的时候（算法运行太慢或者占用太多内存）才考虑采用主要成分分析。