线性代数考研笔记

行列式

背景

分子行列式:求哪个未知数,就把b1,b2放在对应的位置

分母行列式:系数对应写即可

全排列与逆序数

1 3 2:逆序数为1    奇排列

1 2 3:逆序数为0    偶排列

将 1 3 2 只需将3 2交换1次就可以还原原排列,那么1 3 2可以直接判断是奇排列

交换奇次数还原则是奇排列,偶次数还原则是偶排列

行列式直接计算

行列式的简便计算

空白区域为0,像这种结构结果为对角线相乘。

因为取其他地方,必然会得到0

行列式的性质

行(或列)交换奇数次为负,偶数次不变

行列式乘k,是某行乘k,矩阵乘k则是每一行都要乘k

                   

行数和列数必须一样,ABO每个区域占四分之一           

代数余子式

拆分

         

                                                                                                                                                                                                                                                                               

范德蒙行列式

                                                                                                                                                                                                                                                                                   

矩阵

背景

                                                                                                                                                 

特殊矩阵

单位,对角矩阵都是方阵,m=n                                                                                       

矩阵运算       

加减                                                      

数乘

乘法

乘法不能乱换顺序

例题

行跟行或列跟列成比例,可套用此二级结论

伴随矩阵

其中Aij为代数余子式

转置矩阵

方阵的行列式

逆矩阵

总结

初等变换

只有方阵才能变成行列式,行列式不为0才有逆矩阵,有逆矩阵才能化为单位矩阵

初等矩阵及其逆

初等矩阵就是单位矩阵的变化,单位矩阵的某一种变形既可以通过行同时也可以通过列得到

利用初等矩阵可以方便变化其他矩阵

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