目录

1.树的定义

2.基本术语

3.树的性质

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1.树的定义

 树是n（n≥0）个结点的有限集。

n=0时，称为空树。

（1）树有且只有一个特定的结点，称为根节点。

（2）当n>1时，其余结点可分为n(n>0)个互不相交的有限集T1,T2……Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为根的子树。

2.基本术语

1）祖先、子孙、双亲、孩子、兄弟和堂兄弟。

考虑结点K，从根A到结点K的唯一路径上的所有其他结点，称为结点K的祖先。如结点B是结点K的祖先，而K是B的子孙，结点8的子孙包括EFKL。路径上最接近结点K的结点E称为K的双亲，而K为E的孩子。根是树中唯一没有双亲的结点有相同双亲的结点称为兄弟，如结点K和结点L有相同的双亲E，即K和L为兄弟。双亲在同一层的结点互为堂兄弟，结点G与EFHLJ互为堂兄弟。

2）结点的度和树的度。

树中一个结点的孩子个数称该节点的度。树中结点的最大的度数称为树的度，如结点B的度为2，结点D的度为3，则树的度为3。

3）分支结点和叶结点。

度大于0的结点称为分支结点（又称非终端结点）；度为0（没有孩子结点）的结点称为叶结点（又称终端结点）。在分支结点中，每个结点的分支数就是该结点的度。根节点度不为0，也被称为分支结点。

4）结点的深度、高度和层次。

结点的层次从树根开始定义，根结点为第1层，它的孩子为第2层，以此类推。结点的深度就是结点所在的层次。树的高度（或深度）是树中结点的最大层数。结点的高度是以该结点为根的子树的高度。图5.1中树的高度为 4。

5）有序树和无序树。

树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换，称该树为有序树，否则称为无序树。

3.树的性质

1）树的结点树n等于所有结点的度数之和加1。

结点的度是指该结点的孩子数量，每个结点与其每个孩子都由唯一的边相连，一次树中所有结点的度数之和等于树中的边数之和。树中的结点（除根外）都有唯一的双亲，因此结点数n等于边数之和加1，即所有结点的度数之和加1。

2）度为m的树中第i层上至多有m^(i-1)个结点(i≥1)。

第1层至多有1个结点（即根结点），第2层至多有m个结点，第3层至多有m^2个结点。使用数学归纳法可推出第i层至多有m^(i-1)个结点。

3)高度为h的m叉树至多有((m^h)-1)/(m-1)个结点。

当各层节点数达到最大时，树中至多有1+m+m^2+m^3+……m^(h-1) = (m^h)-1/(m-1)。

4）度为 m、具有n个结点的树的最小高度h为logm(n(m-1)+1)（取上限，不满整取整数的上限）。

[logm(n(m-1)+1)读作log以m为底，(n(m-1)+1)的对数。

为使树的高度最小，在前h-1层中，每层的结点数都要达到最大，前h-1层最多有(m^(h-1)-1)/(m-1)个结点，前h层最多有((m^h)-1)/(m-1)个结点。因此(m^(h-1)-1)/(m-1)<n≤((m^h)-1)/(m-1)，       即 h-1<logm(n(m-1)+1)≤h, 解得 h(min) =「logm(n(m-1)+ 1)。

注意区分表达式的括号范围，都是分子分母的形式，((m^h)-1)/(m-1)即m的h次方减1，除以m减1。

5）度为m、具有n个结点的树的最大高度h为n-m+1。

由于树的度为m，因此至少有一个结点有m个孩子，它们处于同一层。为使树的高度最大，其他层可仅有一个结点，因此最大高度（层数）为n-m+1。由此，也可逆推出度为h、度为m的树至少有h+m-1个结点。