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一、算数模复合

 假设 $N=p\cdot q$，其中 p 和 q 是质数 (prime)。
Z N = { 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 } ; ( Z N ) ∗ = { i n v e r t i b l e e l e m e n t s i n Z N } Z_N = \{0, 1, 2, ..., N-1\};(Z_N)^* = \{invertible\ elements\ in\ Z_N\} ZN​={0,1,2,...,N−1};(ZN​)∗={invertible elements in ZN​} 定理：
 Euler 定理：

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二、群 循环群

1. 群 (Group)

 群是一种代数结构，由 一个集合 和 一个二元运算 组成，满足以下条件 (下面默认为 乘法群)：

• 封闭性：对于所有 a, b 在群中，a⋅b 也在群中。
• 结合律：对于所有 a, b, c 在群中，(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。
• 单位元：存在一个元素 e 在群中，对于所有 a 在群中，a⋅e = e⋅a = a。
• 逆元：在群中，对于的 每个元素 a，存在 一个元素 b 使得 a⋅b = b⋅a = e，其中 e 是单位元。 如果运算满足交换律，群可以是 阿贝尔群 (Abelian Group)。

2. 环 (Ring)

 环 是代数中的一个基本概念，它是一个 集合，配备了 两种运算：加法 和 乘法，满足以下性质：

• 加法和乘法的 封闭性。
• 加法和乘法的 结合律。
• 存在 加法单位元 (通常为 0) 和 乘法单位元 (通常为 1)。
• 具有加法的交换律。
• 每个元素 都有 加法逆元。 环 可以没有 乘法逆元，或者 只有部分元素有 乘法逆元。

3. 循环群 (Cyclic Group)

 循环群是一种 特殊的群，它可以由 单个元素 生成。如果存在 一个元素 g 在群 G 中，使得群 G 中的 每个元素 都可以 表示为 g 的幂，那么 G 就是循环 的。循环群可以是 有限 的或 无限 的，并且可以是 阿贝尔群。

4. 多项式环 (Polynomial Ring)

 多项式环是一个环，其中的 元素 是 多项式，系数 来自 某个环 (通常是整数环或有理数环)。例如，Z[x] 表示所有 系数为整数 的 多项式 构成的 环。
 多项式环中的运算是 多项式的加法和乘法，它们遵循 分配律 和 结合律。

5. 有限域 (Finite Field)

 有限域，也称为伽罗瓦域 (Galois Field)，是一个具有 有限个元素的域。域是一种 特殊的环，其中 每个非零元素 都有 乘法逆元。有限域在密码学中非常重要，因为它们提供了一个在其中可以进行代数运算的封闭系统。

6. 椭圆曲线 (Elliptic Curve)

 椭圆曲线是密码学中的另一种群结构，它由 满足特定方程的 点 组成。椭圆曲线群在密码学中的应用包括椭圆曲线密码体系 (ECC)，它提供了 与 RSA 相当的 安全性，但使用的 密钥尺寸 更小。

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三、求逆元

 在密码学中，求逆元十分常见，尤其是在处理 模运算 的时候。
 逆元的 存在性 取决于 两个数 是否 互质，即它们的 最大公约数 (GCD) 是否为 1。以下是几种求逆元的方法：

1. 扩展欧几里得算法

1.1 算法概述

 这是最常用的方法，用于 找到整数 a 和 b 的最大公约数，并找到 整数 x 和 y 使得：
$$a\cdot x+b\cdot y=gcd(a,b)$$如果 $gcd(a,b)=1$，则 x 是 a 模 b 的逆元。

输入是 a, b (a 要小于 b)，输出是 x。

1.2 步骤

1. 初始化
   $$\begin{gathered} r_0=a,r_1=b,x_0=1,x_1=0,y_0=0,y_1=1 \\ 或者r_0=b,r_1=a,x_0=0,x_1=1,y_0=1,y_1=0 \end{gathered}$$这里的关键就在于，要求 $a\cdot x_0+b\cdot y_0=r_0,a\cdot x_1+b\cdot y_1=r_1$ 成立。下面以前一种情况为例子。
2. 迭代 (i 从 2 开始)
    当 $r_{i-1}>0$ 时，计算 $q_i=\lfloor \frac{r_{i-2}}{r_{i-1}}\rfloor$，然后更新：
   • $r_i=r_{i-2}-q_i\cdot r_{i-1}$
   • $x_i=x_{i-2}-q_i\cdot x_{i-1}$
   • $y_i=y_{i-2}-q_i\cdot y_{i-1}$
3. 当 $r_i=0$ 时，$x_{i-1}$ 就是 a 模 b 的逆元。

1.3 示例

 现在假设，我们要求 3 在 mod 11 下的逆元。

1. 问题转化：
   首先，要求 3 在 mod 11 下的逆元，也就是要找到一个整数 x，使得：
   $$3\cdot x\equiv 1(mod11)$$这意味着，我们需要找到 x 和 y，使得：
   $$3\cdot x+11\cdot y=1$$此时问题便转化为了上面的标准形式
2. 初始化：
   $$\begin{gathered} r_0=3 \\ {r}_1=11 \\ {x}_0=1 \\ {x}_1=0 \\ {y}_0=0 \\ {y}_1=1 \end{gathered}$$
3. 第一次迭代：
   首先判断 $r_1>0$ 成立，然后计算：
   $$q_2=\lfloor \frac{r_0}{r_1}\rfloor =\lfloor \frac{3}{11}\rfloor =0$$更新：
   $$\begin{gathered} r_2=3-0\ast 11=3 \\ {x}_2=1-0\ast 0=1 \\ {y}_2=0-0\ast 1=0 \end{gathered}$$
4. 第二次迭代：
   首先判断 $r_2>0$ 成立，然后计算：
   $$q_3=\lfloor \frac{r_1}{r_2}\rfloor =\lfloor \frac{11}{3}\rfloor =3$$更新：
   $$\begin{gathered} r_3=11-3\ast 3=2 \\ {x}_3=0-3\ast 1=-3 \\ {y}_2=1-3\ast 0=1 \end{gathered}$$
5. 第三次迭代：
   首先判断 $r_3>0$ 成立，然后计算：
   $$q_4=\lfloor \frac{r_2}{r_3}\rfloor =\lfloor \frac{3}{2}\rfloor =1$$更新：
   $$\begin{gathered} r_4=3-1\ast 2=1 \\ {x}_4=1-1\cdot (-3)=4 \\ {t}_4=0-1\cdot 1=-1 \end{gathered}$$
6. 第四次迭代：
   首先判断 $r_4>0$ 成立，然后计算：
   $$q_5=\lfloor \frac{r_3}{r_4}\rfloor =\lfloor \frac{2}{1}\rfloor =2$$更新：
   $$r_5=2-1\ast 2=0$$此时，可以发现，$r_5=0$，满足结束的条件了。于是乎得到 3 在 mod 11 的时候，逆元是 $x_3=4$。

2. 费马小定理

 如果 a 和 N 互质，且 N 是质数，费马小定理指出：
$$a^{n-1}\equiv 1(modN)$$因此，a 模 b 的逆元是 $a^{n-2}(modn)$。