【电路笔记 信号】极点的物理意义

图像总结

  • 极点的具体位置为我们提供了关于系统行为的重要信息,有助于分析系统的频率响应、时间响应和稳定性:

在这里插入图片描述

  • 极点的虚部决定了系统的振荡频率,即系统的自然频率。
  • 极点的实部决定了系统的稳定性阻尼特性。负实部表示稳定的衰减响应,正实部表示不稳定的发散响应,零实部则意味着没有阻尼,系统保持持续振荡。

RLC电路的微分方程

考虑一个典型的RLC串联电路,由一个电阻 R R R电感 L L L电容 ( C ) 组成。我们分析电路中的电流 i ( t ) i(t) i(t) 和电压。

  • 根据基尔霍夫电压定律(KVL),电路中的总电压等于各元件电压之和:
    V ( t ) = V R ( t ) + V L ( t ) + V C ( t ) V(t) = V_R(t) + V_L(t) + V_C(t) V(t)=VR(t)+VL(t)+VC(t)
    其中:

    • 电阻器的电压:根据欧姆定律, V R ( t ) = R i ( t ) V_R(t) = Ri(t) VR(t)=Ri(t)
    • 电感器的电压:根据法拉第电磁感应定律, V L ( t ) = L d i ( t ) d t V_L(t) = L \frac{di(t)}{dt} VL(t)=Ldtdi(t)
    • 电容器的电压:根据电容器的电压与电荷关系, V C ( t ) = 1 C ∫ i ( t ) d t V_C(t) = \frac{1}{C} \int i(t) \, dt VC(t)=C1i(t)dt
  • 所以,总电压为:
    V ( t ) = R i ( t ) + L d i ( t ) d t + 1 C ∫ i ( t ) d t V(t) = Ri(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) \, dt V(t)=Ri(t)+Ldtdi(t)+C1i(t)dt

  • 取其导数得到:
    d V ( t ) d t = R d i ( t ) d t + L d 2 i ( t ) d t 2 + 1 C i ( t ) \frac{dV(t)}{dt} = R \frac{di(t)}{dt} + L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{C} i(t) dtdV(t)=Rdtdi(t)+Ldt2d2i(t)+C1i(t)

  • 如果存在一个外部电压源 V in ( t ) V_{\text{in}}(t) Vin(t),则该微分方程会变为(电压源的电压与电路中元件的电压降之和相等):
    L d 2 i ( t ) d t 2 + R d i ( t ) d t + 1 C i ( t ) = V in ( t ) L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = V_{\text{in}}(t) Ldt2d2i(t)+Rdtdi(t)+C1i(t)=Vin(t)
    这也是一个典型的二阶线性时不变系统的微分方程。

拉普拉斯变换

对微分方程应用拉普拉斯变换。首先,拉普拉斯变换的基本规则是:

  • 对于电流 i ( t ) i(t) i(t),拉普拉斯变换是 I ( s ) I(s) I(s)

  • 对于电流的导数,拉普拉斯变换是:
    L [ d n i ( t ) d t n ] = s n I ( s ) − s n − 1 i ( 0 ) − ⋯ − i ( n − 1 ) ( 0 ) \mathcal{L} \left[ \frac{d^n i(t)}{dt^n} \right] = s^n I(s) - s^{n-1} i(0) - \cdots - i^{(n-1)}(0) L[dtndni(t)]=snI(s)sn1i(0)i(n1)(0)
    对于二阶导数,我们有:
    L [ d 2 i ( t ) d t 2 ] = s 2 I ( s ) − s i ( 0 ) − i ′ ( 0 ) \mathcal{L} \left[ \frac{d^2 i(t)}{dt^2} \right] = s^2 I(s) - s i(0) - i'(0) L[dt2d2i(t)]=s2I(s)si(0)i(0)
    假设初始条件为零,即 ( i(0) = 0 ),( i’(0) = 0 ),拉普拉斯变换变为:
    L [ d 2 i ( t ) d t 2 ] = s 2 I ( s ) \mathcal{L} \left[ \frac{d^2 i(t)}{dt^2} \right] = s^2 I(s) L[dt2d2i(t)]=s2I(s)

  • 结果 给定的微分方程为:
    L d 2 i ( t ) d t 2 + R d i ( t ) d t + 1 C i ( t ) = V in ( t ) L \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = V_{\text{in}}(t) Ldt2d2i(t)+Rdtdi(t)+C1i(t)=Vin(t)

  • 现在,对原微分方程进行拉普拉斯变换:
    L ⋅ s 2 I ( s ) + R ⋅ s I ( s ) + 1 C I ( s ) = V in ( s ) L \cdot s^2 I(s) + R \cdot s I(s) + \frac{1}{C} I(s) = V_{\text{in}}(s) Ls2I(s)+RsI(s)+C1I(s)=Vin(s)

  • 其中 V in ( s ) V_{\text{in}}(s) Vin(s) 是输入电压的拉普拉斯变换。

R ⋅ s I ( s ) = V out ( s ) R \cdot s I(s) = V_{\text{out}}(s) RsI(s)=Vout(s)

变换结果分析

  • 考虑一个串联RLC电路,其传递函数为(输出从电阻分压 https://blog.csdn.net/m0_55419117/article/details/136724222):
    H ( s ) = 1 L C s 2 + R C s + 1 H(s) = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1} H(s)=LCs2+RCs+11
  • 极点的位置:通过求解特征方程 L C s 2 + R C s + 1 = 0 LC s^2 + RC s + 1 = 0 LCs2+RCs+1=0,可以得到极点。极点的位置决定了系统的共振频率(虚部)和阻尼(实部)。例如,假设 R = 0 R = 0 R=0(理想电路),则系统的极点位于纯虚轴上,表示系统会在共振频率下持续振荡,且没有衰减。

无衰减振荡的情况

  • 无衰减系统的响应保持恒定的振荡幅度,极点位于虚轴上
  • 得到的拉普拉斯变换形式是:

X ( s ) = 1 s 2 + ω 0 2 X(s) = \frac{1}{s^2 + \omega_0^2} X(s)=s2+ω021

  • 拉普拉斯逆变换

  • 这表示了一个理想的无阻尼振荡系统,它的极点位于 s = ± j ω 0 s = \pm j\omega_0 s=±jω0(即虚轴上的两个共轭极点)。根据标准的拉普拉斯变换表,可以找到这个变换的逆:

L − 1 ( 1 s 2 + ω 0 2 ) = sin ⁡ ( ω 0 t ) ω 0 \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s^2 + \omega_0^2} \right) = \frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0} L1(s2+ω021)=ω0sin(ω0t)

  • 假设系统的极点为 s = j ω 0 s = j\omega_0 s=jω0,如果有一个初始相位 ϕ \phi ϕ,则该响应如下:
    x ( t ) = A cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) x(t)=Acos(ω0t+ϕ)
    其中, A A A是振荡的幅度, ω 0 \omega_0 ω0是系统的自然频率, ϕ \phi ϕ 是初相位。

不稳定的情况

  • 如果系统的极点具有正的实部(例如 s = σ + j ω 0 s = \sigma + j\omega_0 s=σ+jω0),系统的自然响应可能是:
    x ( t ) = A e σ t cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) x(t) = A e^{\sigma t} \cos(\omega_0 t + \phi) x(t)=Aeσtcos(ω0t+ϕ)
    其中, A A A 是初始幅度, σ \sigma σ 是正的实部,导致指数增长或减少。

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