1️⃣ 原理分析
RNN前向传播的公式为：
- x t x_t xt是t时刻的输入
- s t s_t st是t时刻的记忆， s t = f ( U ⋅ x t + W ⋅ s t − 1 ) s_t=f(U\cdot x_t+W\cdot s_{t-1}) st=f(U⋅xt+W⋅st−1)，f表示激活函数， s t − 1 s_{t-1} st−1表示t-1时刻的记忆
- o t o_t ot是t时刻的输出， o t = s o f t m a x ( V ⋅ s t ) o_t=softmax(V\cdot s_t) ot=softmax(V⋅st)
采用交叉熵作为损失函数：
L = ∑ i = 1 T − o t ˉ l o g o t L=\sum_{i=1}^{T}-\bar{o_{t}}logo_{t} L=i=1∑T−otˉlogot
其中T代表时间步的长度， o ˉ t \bar o_{t} oˉt代表ground truth， o t o_t ot代表预测的输出。
假设有三个时间步， t = 1 , 2 , 3 t=1,2,3 t=1,2,3。假设初始记忆 s t = 0 s_t=0 st=0，则 t = 1 t=1 t=1时的记忆和输出为：
s 1 = f ( U x 1 + W s 0 ) o 1 = f [ V ⋅ f ( U x 1 + W s 0 ) ] \begin{aligned}&s_1=f(Ux_1+Ws_0)\\&o_{1}=f[V\cdot f(Ux_{1}+Ws_{0})]\end{aligned} s1=f(Ux1+Ws0)o1=f[V⋅f(Ux1+Ws0)]
t = 2 t=2 t=2时的记忆和输出为：
s 2 = f ( U x 2 + W s 1 ) o 2 = f [ V ⋅ f ( U x 2 + W s 1 ) ] = f [ V ⋅ f ( U x 2 + W f ( U x 1 + W s 0 ) ) ] \begin{aligned}&s_2=f(Ux_2+Ws_1)\\&o_{2}=f[V\cdot f(Ux_{2}+Ws_{1})]=f[V\cdot f(Ux_{2}+Wf(Ux_1+Ws_0))]\end{aligned} s2=f(Ux2+Ws1)o2=f[V⋅f(Ux2+Ws1)]=f[V⋅f(Ux2+Wf(Ux1+Ws0))]
这样很晕，我来画个箭头：
可以发现 s 2 s_2 s2是 s 1 s_1 s1的函数
t = 3 t=3 t=3时的记忆和输出为：
s 3 = f ( U x 3 + W s 2 ) o 3 = f [ V ⋅ f ( U x 3 + W s 2 ) ] = f [ V ⋅ f ( U x 3 + W f ( U x 2 + W s 1 ) ) ] = f [ V ⋅ f ( U x 3 + W f ( U x 2 + W f ( U x 1 + W s 0 ) ) ) ] \begin{aligned}&s_3=f(Ux_3+Ws_2)\\&o_{3}=f[V\cdot f(Ux_{3}+Ws_{2})]=f[V\cdot f(Ux_{3}+Wf(Ux_2+Ws_1))]=f[V\cdot f(Ux_{3}+Wf(Ux_2+Wf(Ux_1+Ws_0)))] \end{aligned} s3=f(Ux3+Ws2)o3=f[V⋅f(Ux3+Ws2)]=f[V⋅f(Ux3+Wf(Ux2+Ws1))]=f[V⋅f(Ux3+Wf(Ux2+Wf(Ux1+Ws0)))]
画个箭头：
可以发现 s 3 s_3 s3是 s 2 s_2 s2的函数，又 s 2 s_2 s2是 s 1 s_1 s1的函数，因此 s 3 s_3 s3包含 s 2 s_2 s2和 s 1 s_1 s1
然后我们来分析反向传播：BPTT（Back-Propagation Through Time，时间上的反向传播）是针对RNN的训练算法，它的核心依然是基于梯度下降的反向传播。对于RNN来说，主要参数包括U、W和V。
以t=3时举例子，求U，V，W的梯度：
∂ L 3 ∂ V = ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ V 3 ◯ ∂ L 3 ∂ W = ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ W + ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 2 ∂ s 2 ∂ W + ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ s 2 ∂ s 2 ∂ s 1 ∂ s 1 ∂ W 4 ◯ ∂ L 3 ∂ U = ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ U + ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 2 ∂ s 2 ∂ U + ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ s 2 ∂ s 2 ∂ s 1 ∂ s 1 ∂ U 5 ◯ \begin{aligned} &\frac{\partial L_3}{\partial V} =\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial V}\textcircled{3} \\ &\frac{\partial L_3}{\partial W} =\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial W}+\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_2}\frac{\partial s_2}{\partial W}+\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial s_2}\frac{\partial s_2}{\partial s_1}\frac{\partial s_1}{\partial W}\textcircled{4} \\ &\frac{\partial L_3}{\partial U} =\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial U}+\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_2}\frac{\partial s_2}{\partial U}+\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial s_2}\frac{\partial s_2}{\partial s_1}\frac{\partial s_1}{\partial U}\textcircled{5} \end{aligned} ∂V∂L3=∂o3∂L3∂V∂o33◯∂W∂L3=∂o3∂L3∂s3∂o3∂W∂s3+∂o3∂L3∂s2∂o3∂W∂s2+∂o3∂L3∂s3∂o3∂s2∂s3∂s1∂s2∂W∂s14◯∂U∂L3=∂o3∂L3∂s3∂o3∂U∂s3+∂o3∂L3∂s2∂o3∂U∂s2+∂o3∂L3∂s3∂o3∂s2∂s3∂s1∂s2∂U∂s15◯
对于公式⑤可以简写成：
∂ L 3 ∂ U = ∑ k = 0 3 ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ s k ∂ s k ∂ U \frac{\partial L_3}{\partial U}=\sum_{k=0}^3\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial s_k}\frac{\partial s_k}{\partial U} ∂U∂L3=k=0∑3∂o3∂L3∂s3∂o3∂sk∂s3∂U∂sk
由于 ∂ s 3 ∂ s k \frac{\partial s_3}{\partial s_k} ∂sk∂s3也需要链式法则，即 ∂ s 3 ∂ s 1 = ∂ s 3 ∂ s 2 ∂ s 2 ∂ s 1 \frac{\partial s_3}{\partial s_1}=\frac{\partial s_3}{\partial s_2}\frac{\partial s_2}{\partial s_1} ∂s1∂s3=∂s2∂s3∂s1∂s2。因此公式可以进一步修改为：
∂ L 3 ∂ U = ∑ k = 1 3 ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ∂ s 3 ∂ s k ∂ s k ∂ U = ∑ k = 1 3 ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ( ∏ j = k + 1 3 ∂ s j ∂ s j − 1 ) ∂ s k ∂ U 6 ◯ \frac{\partial L_3}{\partial U}=\sum_{k=1}^3\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}\frac{\partial s_3}{\partial s_k}\frac{\partial s_k}{\partial U}=\sum_{k=1}^3\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}(\prod_{j=k+1}^3\frac{\partial s_j}{\partial s_{j-1}})\frac{\partial s_k}{\partial U}\textcircled{6} ∂U∂L3=k=1∑3∂o3∂L3∂s3∂o3∂sk∂s3∂U∂sk=k=1∑3∂o3∂L3∂s3∂o3(j=k+1∏3∂sj−1∂sj)∂U∂sk6◯
同理，对公式④也可以写为：
∂ L 3 ∂ W = ∑ k = 1 3 ∂ L 3 ∂ o 3 ∂ o 3 ∂ s 3 ( ∏ j = k + 1 3 ∂ s j ∂ s j − 1 ) ∂ s k ∂ W 7 ◯ \frac{\partial L_3}{\partial W}=\sum_{k=1}^3\frac{\partial L_3}{\partial o_3}\frac{\partial o_3}{\partial s_3}(\prod_{j=k+1}^3\frac{\partial s_j}{\partial s_{j-1}})\frac{\partial s_k}{\partial W}\textcircled{7} ∂W∂L3=k=1∑3∂o3∂L3∂s3∂o3(j=k+1∏3∂sj−1∂sj)∂W∂sk7◯
观察③式，对与V的偏导不存在依赖关系。
观察④和⑤式，对W和U求偏导的时候，存在长期依赖关系。原因是前向传播的时候 s t s_t st会随着时间向前传播，而 s t s_t st是W、U的函数。
假设激活函数为tanh，将⑥⑦中累乘部分取出来：
∏ j = k + 1 3 ∂ s j ∂ s j − 1 = ∏ j = k + 1 3 t a n h ′ W \prod_{j=k+1}^3\frac{\partial s_j}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k+1}^3tanh^{'}W j=k+1∏3∂sj−1∂sj=j=k+1∏3tanh′W
例如： s 3 = f ( U x 3 + W s 2 ) s_3=f(Ux_3+Ws_2) s3=f(Ux3+Ws2)， ∂ s 3 ∂ s 2 = t a n h ′ ( U ) W \frac{\partial s3}{\partial s_{2}}=tanh'(U) W ∂s2∂s3=tanh′(U)W
由上图可知，tanh的梯度最大为1，通常情况下会小于1，因此当t很大的时候，例如t=100时，⑥⑦中的累乘部分 ∏ j = k + 1 100 t a n h ′ W \prod_{j=k+1}^{100}tanh^{^{\prime}}W ∏j=k+1100tanh′W将趋于0，因此t=100时对于W和U的梯度将趋于0，导致梯度消失。
分析完tanh，再来分析一下W，如果W中的值太大，那么产生问题就是梯度爆炸
2️⃣ 总结
- RNN存在梯度消失的原因是：隐藏层的输出 s t s_t st会向前传播，这样导致在反向传播求梯度时存在一个累乘项，这个累乘项由
激活函数的梯度和参数W组成，如果我们采用tanh作为激活函数，其梯度小于1，时间步越多，累乘项越趋近于0，导致梯度消失。 - RNN存在梯度爆炸的原因：参数W如果过大，则会导致累乘项逐渐变大，导致梯度爆炸
3️⃣ 参考
RNN梯度消失与梯度爆炸的原因 - Hideonbush的文章 - 知乎
