计算结构力学:多自由度振动系统

本文以笔记的形式记录计算结构力学的若干基础知识。

注1:限于研究水平,分析难免不当,欢迎批评指正。

注2:文章内容会不定期更新

预修1:线性代数

1. 标准特征值

复矩阵Schur分解:对于复矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},存在酉矩阵\boldsymbol{Q}\in \mathbb{C}^{n\times n},使得\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{T}\in \mathbb{C}^{n\times n}为上三角矩阵。

实矩阵Schur分解: 对于实矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n},存在正交矩阵\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times n},使得\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{T}\in \mathbb{C}^{n\times n}为上三角矩阵。

实对称矩阵Schur分解: 对于实对称矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n},存在正交矩阵\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times n},使得\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=diag\left ( \lambda _{1},\cdots , \lambda _{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n}

2. 广义特征值

对于矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{C}^{n\times n},若存在数\lambda,使得方程\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \mathbf{B}\mathbf{x}存在非零解,则\lambda\boldsymbol{A}相对\boldsymbol{B}的特征向量,\boldsymbol{x}\boldsymbol{A}相对于\boldsymbol{B}的对应特征向量。

工程应用中,\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}通常为Hermite矩阵实对称矩阵

复矩阵Schur分解:对于复矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{C}^{n\times n},存在酉矩阵\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z},使得\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{S}为上三角矩阵,且\lambda \left ( A,B \right )=\left\{\begin{matrix} 0& t_{kk}=0,s_{kk}=0\\ \frac{t_{ii}}{s_{ii}} & else \end{matrix}\right.

实矩阵Schur分解:对于实矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n},\boldsymbol{B}\in \mathbb{R}^{n\times n},存在正交矩阵\boldsymbol{Q}\boldsymbol{Z},使得\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{Q}^{H}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{S}为上三角矩阵。

实对称矩阵Schur分解:对于实对称矩阵\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}实对称正定矩阵\boldsymbol{B}\in \mathbb{R}^{n\times n},存在正交矩阵\boldsymbol{X}=\left [\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n} \right ],使得\boldsymbol{X}^TA\boldsymbol{X}=diag\left ( a_{1},\cdots ,a_{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n}, \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}=diag\left ( b_{1},\cdots ,b_{n} \right )\in \mathbb{R}^{n\times n},并且\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{i}=\lambda_{i} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{i},\lambda _{i}=\frac{a_{i}}{b_{i}}

3. 多项式特征值

\boldsymbol{A}_{0},\cdots ,\boldsymbol{A}_{d}\in\mathbb{C}^{n\times n}\lambda \in\mathbb{C},则\boldsymbol{A}_{0}+\lambda\boldsymbol{A}_{1}+\cdots + \lambda^{m}\boldsymbol{A}_{m}称为m次矩阵多项式,记作P\left ( \lambda \right )

对于矩阵多项式,若存在数\lambda_{i}\in \mathbb{C}^{n\times n},使得方程P\left ( \lambda \right )\mathbf{x}=0存在非零解\boldsymbol{x}_{i},则称\lambda_{i}称为多项式特征值,\boldsymbol{x}_{i}为对应的特征向量。

容易看出,

  • m=1,并取\boldsymbol{A}_{1}=-\boldsymbol{B},即\left (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B} \right )\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},多项式特征值实际上就是广义特征值;
  • m=1,并取\boldsymbol{A}_{1}=-\boldsymbol{E},即\left (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E} \right )\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},多项式特征值实际上就是标准特征值;

 预修2:积分变换

1. 辅助函数

定义单位阶跃函数H\left ( t \right )

H\left ( t \right )=\begin{cases} 1 & \text{ if } t>0 \\ 0 & \text{ if } t<0 \end{cases}

定义单位脉冲函数\delta \left ( t \right )

\delta _{\epsilon }\left ( t \right )=\begin{cases} \frac{1}{\epsilon } & \text{ if } 0\leq t \leq \epsilon \\ 0 & else \end{cases}, \delta\left ( t \right )=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\delta _{\epsilon }\left ( t \right )

定义指数衰减函数E\left ( t \right )

E\left ( t \right )=\begin{cases} e^{-\beta t} & \text{ if } t\geq 0 \\ 0& \text{ if } t<0 \end{cases}

2. 卷积分

对于函数f_{1}\left ( t \right )f_{2}\left ( t \right ),则\int_{-\infty }^{+\infty}f_{1}\left ( \tau \right )f_{2}\left ( t-\tau \right )dt称为函数函数f_{1}\left ( t \right )f_{2}\left ( t \right )的卷积,记作f_{1}\left ( t \right )*f_{2}\left ( t \right )

交换律:f_{1}\left ( t \right )*f_{2}\left ( t \right )=f_{2}\left ( t \right )*f_{1}\left ( t \right )

3. Fourier变换

Fourier积分定理:若函数f\left ( t \right )\left ( -\infty ,+\infty \right )上满足下列条件,(1). f\left ( t \right )在任一有限区间满足Dirichlet条件 ;(2). f\left ( t \right )在无限区间\left ( -\infty ,+\infty \right )上绝对可积分(即\int_{-\infty }^{+\infty }\left |f\left ( t \right ) \right |dt < \infty),则有

f\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( \tau \right )e^{-j\omega\tau}d\tau e^{j\omega t}d\omega

F\left ( \omega \right )=\mathcal{F}\left ( f\left ( t \right ) \right ) =\int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt为函数f\left ( t \right )的Fourier变换,对应的Fourier逆变换为f\left ( t\right )=\mathcal{F}^{-1}\left [ F\left ( \omega \right )\right ] =\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }F\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega

微分性质:若\left | t \right |\rightarrow \infty时,\left | f\left (t \right )\right |\rightarrow \infty,则有\mathcal{F}\left ( {f}'\left ( t \right ) \right )=j\omega \mathcal{F}\left ( f\left ( t \right ) \right )

4. Laplace变换

若函数f\left ( t \right )\left [ 0,+\infty \right )时有定义,可利用单位阶跃函数将Fourier变换积分区间缩减到正半轴,利用指数衰减函数来削减绝可积的要求,从而有

\mathcal{F}\left ( H\left ( t \right )E\left ( t \right )f\left ( t \right ) \right )=\int_{+\infty}^{+\infty } H\left ( t \right )E\left ( t \right )f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-\beta t-j\omega t}dt

若函数f\left ( t \right )\left [ 0,+\infty \right )时有定义,而且积分\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt在复数s=\beta +j\omega的某一域内存在,则记,

F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right )=\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt为函数f\left ( t \right )的Laplace变换,

f\left ( t \right )=\mathcal{L}^{-1}\left ( F\left ( s \right ) \right )=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta -j\infty }^{\beta +j\infty}F\left ( s \right )e^{st}dsF\left ( s \right )的Laplace逆变换。

Laplace变换存在的充分条件:若函数f\left ( t \right )t\geq 0时满足以下条件,(1) 在t\geq 0任一有限区域分段连续;(2) 当t\rightarrow +\infty时,存在常数M>0c\geq 0,使得\left | f\left ( t \right ) \right |<Me^{ct}, 则f\left ( t \right )的Laplace变换\int_{0}^{+\infty }f\left ( t \right )e^{-st}dt在半平面Re\left ( s \right )>c上一定存在,右端积分在Re\left ( s \right )\geqslant c_{1}>c绝对收敛且一致收敛,并且在半平面Re\left ( s \right )>c内,F\left ( s \right )为解析解。

微分性质:若F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right ),则有\mathcal{L}\left ( {f}'\left ( t \right ) \right )=sF\left ( s \right )-F\left ( 0 \right )

积分性质:若F\left ( s \right )=\mathcal{L}\left ( f\left ( t \right ) \right ),则有\mathcal{L}\left ( \int_{0}^{t}f\left ( t \right ) dt\right )=\frac{1}{s}F\left ( s \right )

一、频域分析

对于多自由度广义动力学方程,

\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}

两边实施Fourier变换,则有

\mathcal{L}\left ( \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )

进一步,对于线性系统,则简化为

\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\ddot{\boldsymbol{u}} \right )+\boldsymbol{C}\mathcal{L}\left (\dot{\boldsymbol{u}} \right )+\boldsymbol{K}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )

进一步,利用Laplace变换的微分性质,则有

\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )+\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{u}}\left ( 0 \right )+\left ( s\boldsymbol{M}+\boldsymbol{C}\right )\boldsymbol{u}\left ( 0 \right )

对于零初始条件,则有

\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathcal{L}\left (\boldsymbol{f} \right )

1.1 复模态分析

若不考虑外加激励 ,则有

\left (s ^{2} \boldsymbol{M} + s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\boldsymbol{0}

可以看出,此问题实际上对应二次多项式特征值问题,需要考虑将其线性化,则有

\left\{\begin{matrix} s\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )+s\mathbf{C}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )+\boldsymbol{K}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=\mathbf{0}\\ \boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right ) = s\boldsymbol{M}\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{matrix}\right.,

将上述写成矩阵形式,则有

\begin{pmatrix} \boldsymbol{K} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & -\boldsymbol{M} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\end{pmatrix}=-s\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{M}\\ \boldsymbol{M} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{K}\\ -\boldsymbol{M} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{pmatrix}=-s\begin{pmatrix} \boldsymbol{M} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{M} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathcal{L}\left (\boldsymbol{\dot{u}} \right )\\ \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )\end{pmatrix}

1.2 实模态分析

若不考虑外加激励与阻尼 ,则有

\left (\boldsymbol{K}+s ^{2} \boldsymbol{M} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=0

可以看出,此问题实际上对应二次多项式特征值问题,考虑矩阵\boldsymbol{K}与矩阵\boldsymbol{M}的正定性可知,

s^{2}=-\frac{\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )^{T}\boldsymbol{K}\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )}{\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )^{T}\boldsymbol{M}\left ( \mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right ) \right )}<0

因此,s是实部为零的纯虚数,可令\omega ^{2} = -s^{2},即有

\left (\boldsymbol{K}-\omega ^{2} \boldsymbol{M} \right )\mathcal{L}\left (\boldsymbol{u} \right )=0

二、时域分析

参考文献

  • Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
  • 徐树方. 数值线性代数(第二版).  北京大学出版社, 2010.
  • F. Tisseur and K. Meerbergen. The Quadratic Eigenvalue Problem. SIAM Review, 43 (2001), 235-286.
  • 张元林. 积分变换.
  • 胡少伟. 结构振动理论及其应用.  
  • 王勖成. 有限单元法

网络资料

数值线性代数:Arnoldi求解特征值/特征向量icon-default.png?t=O83Ahttps://blog.csdn.net/qq_26221775/article/details/131690666?spm=1001.2014.3001.5502

数值线性代数: Krylov子空间法icon-default.png?t=O83Ahttps://blog.csdn.net/qq_26221775/article/details/131947169?spm=1001.2014.3001.5502

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