数据结构与算法（二叉树）

树

树的概念与结构

1. 树是⼀种非线性的数据结构，它是由 n 个有限结点组成的⼀个具有层次关系的集合。

2. 之所以把它叫做树，是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

2. 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点（父节点）。

3. 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合，其中每⼀个集合又是⼀棵结构与树类似的子树。

4. 每棵子树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继（子节点）。因此，树是递归定义的。

5. 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

6. 除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个父结点（根节点没有父节点）。

7. ⼀棵N个结点的树有N-1条线（每多一个节点，就多一条线）。

树的相关术语

1. 父结点：若⼀个结点含有子结点，则这个结点就称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点。

2. 子结点：⼀个结点含有的子树的根结点，就称为该结点的子结点；如上图：B是A的子结点。

3. 结点的度：⼀个结点有几个子节点，他的度就是多少；比如A的度为6，F的度为2，K的度为0。

4. 兄弟结点：具有相同父结点的结点，互称为兄弟结点；如上图： B、C 是兄弟结点。

5. 树的度：⼀棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为 6。

6. 叶子结点：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B、C、H、I... 等结点为叶结点。

7. 分支结点：度不为 0 的结点；如上图： D、E、F、G... 等结点为分支结点。

8. 结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推。

9. 树的高度（深度）：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4。

10. 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先。

11. 结点的子孙：以某结点为根的子树中任⼀结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙。

12. 路径：⼀条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列；比如A到Q的路径为： A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q。

13. 森林：由 m 棵互不相交的树的集合称为森林。

树的表示

1. 相对线性表结构，树结构更加复杂，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。

2. 实际中，树有很多种表示方法如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子

兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
typedef struct TreeNode
{struct TreeNode* child;struct TreeNode* brother;int data;
}TreeNode;

二叉树

1. 在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，⼀棵二叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成（或者为空）。

2. 二叉树不存在度大于 2 的结点。

3. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

满二叉树

1. ⼀个二叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果⼀个二叉树的层数为 K ，且结点总数是 2^k − 1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树

1. 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。

2. 要注意的是满二叉树是⼀种特殊的完全二叉树。

3. 假设二叉树层数为K层，除了第K层外，每层节点的个数达到最大节点的个数，而第K层节点个数不一定达到最大节点数，并且第K层节点顺序是严格从左到右的，那么这个二叉树就是完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^（i−1）个结点。

2. 若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h − 1。

3. 若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 h = log2 (n + 1) ( log

以2为底，（ n+1）为对数)。

二叉树存储结构

二叉树⼀般可以使用两种结构存储，⼀种顺序结构，⼀种链式结构。

顺序结构

1. 二叉树的顺序结构存储就是使用数组来存储，⼀般使用数组只适合表示完全⼆叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

2. 我们通常把堆（⼀种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，⼀个是数据结构，⼀个是操作系统中管理内存的⼀块区域分段。

3. 根据数学关系我们可以得到数学公式，再根据顺序结构中不能跳的原则，从而得出节点的信息。

链式结构

1. 二叉树的链式存储结构是指：用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 2. 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

3. 链式结构又分为二叉链和三叉链（多了一个指向父节点的指针），博客中⼀般都是二叉链。

实现顺序结构二叉树

1. 堆是⼀种特殊的二叉树，具有二叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

2. 堆一般使用顺序结构的数组来实现。

堆的性质与结构

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值。（可以等于）

2. 越往上，值越大的堆，就是大根堆；越往上，值越小的堆，就是小根堆。

3. 小根堆的堆顶是最小值；大根堆的堆顶是最大值。

4. 堆总是⼀棵完全二叉树。

1. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，最后节点的序号为（n-1）。

2. 若 i>0 ，则 i 结点的父节点序号为： ( i - 1 ) / 2 ；若 i=0 ，则 i 为根结点编号，无父结点。

3. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ； 2i+1>=n 否则无左孩子，发生了越界。

4. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ； 2i+2>=n 否则无右孩子，发生了越界。