高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程

一、 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x) 型的微分方程

微分方程
y ( n ) = f ( x ) (1) y^{(n)} = f(x) \tag{1} y(n)=f(x)(1)
的右端仅含有自变量 x x x 。容易看出,只要把 y ( n − 1 ) y^{(n - 1)} y(n1) 作为新的未知函数,那么 ( 1 ) (1) (1) 式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分,就得到一个 n − 1 n - 1 n1 阶的微分方程
y ( n − 1 ) = ∫ f ( x ) d x + C 1 . y^{(n - 1)} = \int f(x) \mathrm{d}x + C_1. y(n1)=f(x)dx+C1.
同理可得
y ( n − 2 ) = ∫ [ ∫ f ( x ) d x + C 1 ] d x + C 2 . y^{(n - 2)} = \int \left[ \int f(x) \mathrm{d}x + C_1 \right] \mathrm{d}x + C_2. y(n2)=[f(x)dx+C1]dx+C2.
依此法继续进行,接连积分 n n n 次,便得方程 ( 1 ) (1) (1) 的含有 n n n 个任意常数的通解。

例1 求微分方程 y ′ ′ ′ = e 2 x − cos ⁡ x y''' = \mathrm{e}^{2x} - \cos x y′′′=e2xcosx 的通解。
解:对所给方程接连积分三次,得
y ′ ′ = 1 2 e 2 x − sin ⁡ x + C , y ′ = 1 4 2 2 x + cos ⁡ x + C x + C 2 , y = 1 8 e 2 x + sin ⁡ x + C 1 x 2 + C 2 x + C 3 ( C 1 = C 2 ) \begin{align*} y'' &= \cfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2x} - \sin x + C, \\ y' &= \cfrac{1}{4} \mathrm{2}^{2x} + \cos x + Cx + C_2, \\ y &= \cfrac{1}{8} \mathrm{e}^{2x} + \sin x + C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \quad \left(C_1 = \cfrac{C}{2} \right) \end{align*} y′′yy=21e2xsinx+C,=4122x+cosx+Cx+C2,=81e2x+sinx+C1x2+C2x+C3(C1=2C)
这就是所求的通解。

二、 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y) 型的微分方程

方程
y ′ ′ = f ( x , y ′ ) (2) y'' = f(x, y') \tag{2} y′′=f(x,y)(2)
的右端不显含未知函数 y y y 。如果我们设 y ′ = p y' = p y=p ,那么
y ′ ′ = d p d x = p ′ y'' = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = p' y′′=dxdp=p
而方程 ( 2 ) (2) (2) 就成为
p ′ = f ( x , p ) p' = f(x, p) p=f(x,p)
这是一个关于变量 x , p x, p x,p 的一阶微分方程。设其通解为
p = φ ( x , C 1 ) p = \varphi(x, C_1) p=φ(x,C1)
但是 p = d y d x p = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} p=dxdy,因此又得到一个一阶微分方程
d y d x = φ ( x , C 1 ) . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(x, C_1) . dxdy=φ(x,C1).
对它进行积分,便得方程 ( 2 ) (2) (2) 的通解为
y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y = \int \varphi(x, C_1) \mathrm{d}x + C_2 y=φ(x,C1)dx+C2

例2 求微分方程 ( 1 + x 2 ) y ′ ′ = 2 x y ′ (1 + x^2) y'' = 2xy' (1+x2)y′′=2xy 满足初值条件 y ∣ x = 0 = 1 , y ′ ∣ x = 0 = 3 \left . y \right|_{x = 0} = 1, \left . y' \right|_{x = 0} = 3 yx=0=1,yx=0=3 的特解。
解 :所给方程是 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y) 型的。设 y ′ = p y' = p y=p ,代入方程并分离变量后,有
d p p = 2 x 1 + x 2 d x . \cfrac{\mathrm{d}p}{p} = \cfrac{2x}{1 + x^2} \mathrm{d}x . pdp=1+x22xdx.
两端积分,得
ln ⁡ ∣ p ∣ = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C , \ln |p| = \ln{(1 + x^2)} + C , lnp=ln(1+x2)+C,

p = y ′ = C 1 ( 1 + x 2 ) ( C 1 = ± e C ) . p = y' = C_1 (1 + x^2) \quad (C_1 = \pm \mathrm{e}^C) . p=y=C1(1+x2)(C1=±eC).
由条件 y ′ ∣ x = 0 = 3 \left . y' \right|_{x = 0} = 3 yx=0=3 ,得
C 1 = 3 C_1 = 3 C1=3
所以
y ′ = 3 ( 1 + x 2 ) . y' = 3(1 + x^2) . y=3(1+x2).
两端再积分,得
y = x 3 + 3 x + C 2 . y = x^3 + 3x + C_2 . y=x3+3x+C2.
又由条件 y ∣ x = 0 = 1 \left . y \right|_{x = 0} = 1 yx=0=1 ,得
C 2 = 1 C_2 = 1 C2=1
于是所求的特解为
y = x 3 + 3 x + 1 y = x^3 + 3x + 1 y=x3+3x+1

三、 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y′′=f(y,y) 型的微分方程

方程
y ′ ′ = f ( y , y ′ ) (3) y'' = f(y, y') \tag{3} y′′=f(y,y)(3)
中不明显地含自变量 x x x ,为了求出它的解,我们令 y ′ = p y' = p y=p ,并利用复合函数的求导法则把 y ′ ′ y'' y′′ 化为对 y y y 的导数,即
y ′ ′ = d p d x = d p d y ⋅ d y d x = p d p d y . y'' = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} . y′′=dxdp=dydpdxdy=pdydp.
这样,方程 ( 3 ) (3) (3) 就成为
p d p d y = f ( y , p ) . p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) . pdydp=f(y,p).
这是一个关于变量 y , p y, p y,p 的一阶微分方程,设它的通解为
y ′ = p = φ ( y , C 1 ) , y' = p = \varphi(y, C_1) , y=p=φ(y,C1),
分离变量并积分,便得到方程 ( 3 ) (3) (3) 的通解为
∫ d y φ ( y , C 1 ) = x + C 2 . \int \cfrac{\mathrm{d}y}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2 . φ(y,C1)dy=x+C2.

例3 求微分方程 y y ′ ′ − y ′ 2 = 0 y y'' - y'^2 = 0 yy′′y′2=0 的通解。
解:方程不明显的含自变量 x x x ,设
y ′ = p y' = p y=p
y ′ ′ = p d p d y y'' = p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} y′′=pdydp ,代入原方程,得
y p d p d y − p 2 = 0. y p \cfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} - p^2 = 0 . ypdydpp2=0.
y ≠ 0 , p ≠ 0 y \neq 0, p \neq 0 y=0,p=0 时,约去 p p p 并分离变量,得
d p p = d y y . \cfrac{\mathrm{d}p}{p} = \cfrac{\mathrm{d}y}{y} . pdp=ydy.
两端积分,得
ln ⁡ ∣ p ∣ = ln ⁡ ∣ y ∣ + C \ln |p| = \ln |y| + C lnp=lny+C

p = C 1 y 或 y ′ = C 1 y ( C 1 = ± e C ) p = C_1 y \quad 或 \quad y' = C_1 y \quad (C_1 = \pm \mathrm{e}^C) p=C1yy=C1y(C1=±eC)
再分离变量并两端积分,便得原方程得通解为
ln ⁡ ∣ y ∣ = C 1 x + C 2 ′ , \ln |y| = C_1 x + C'_2 , lny=C1x+C2,

y = C 2 e C 1 x ( C 2 = ± e C 2 ′ ) . y = C_2 \mathrm{e}^{C_1 x} \quad (C_2 = \pm \mathrm{e}^{C'_2}) . y=C2eC1x(C2=±eC2).

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