目录

一.AVL的概念

二.AVL的实现

2.1AVL树的结构

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

2.2.2平衡因子更新

2.2.3插入节点及更新平衡因子的实现 

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

2.3.2右单旋

2.3.3右单旋的代码实现

2.3.4左单旋

2.3.5左单旋的代码实现

2.3.6左右双旋

2.3.7左右双旋代码实现

2.3.8右左双旋

​编辑 2.3.9右左双旋的代码实现

2.4AVL树的查找

2.5AVL树平衡检测

2.6补全insert

---

一.AVL的概念

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的 左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。

AVL树实现这里引入⼀个平衡因子(balance  factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像⼀个风向标⼀样。

思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0

AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

二.AVL的实现

2.1AVL树的结构

树的每一个节点包含一个pair，左右子树的指针，父亲节点的指针，还有一个AVL树特有的平衡因子。

template<class K, class V>struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到 pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factor 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public://...
private:Node* _root = nullptr;
};

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2平衡因子更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--

• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent子树一边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会 影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

• 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高⼀边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

• 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高 了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理。

 更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束。

最坏更新到根 

2.2.3插入节点及更新平衡因子的实现 

template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//while循环找到需要插入节点的位置while (cur){//插入的值大于节点的值，往树的右边走if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}//小于的话往左走else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}//相同的值不能再插入else{return false;}}//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr//此时的parent节点存储的是叶子结点cur = new Node(kv);//大于插入到右边小于插入到左边if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//还需要更新平衡因子while (parent){//平衡因子=右子树高度-左子树的高度if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等if (parent->_bf == 0)break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//这里需要旋转处理，后面说break;}else{//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误assert(false);}}return true;}
private:Node* _root = nullptr;
};

这里面还有一点关于旋转的功能没有实现。

下面介绍旋转的概念及如何实现

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

2.3.2右单旋

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

这张图是抽象的展示所有的右单旋的情况。 

具体一点：

情况一： a,b,c三棵子树高度为0

情况二：a,b,c高度为1 

情况三：a,b,c高度为2 

注意b和c都有三种情况，插入的时候插入到a上可以有4种情况。

情况四，abc高度都为3

其实还有情况五，情况六等等，但是计算下去就没有什么意义了，介绍了前面的四种情况，我们就可以了解这个右单旋是什么情况了。接下来就是代码实现

2.3.3右单旋的代码实现

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;//左子树Node* subLR = subL->_right;//左子树的右子树//注意修改父亲指针指向它左子树的右子树parent->_left = subLR;//判断一下如果左子树的右子树不为空的话，修改它的父亲指向if (subLR)subLR->_parent = parent;//后面要修改父亲的指向，所以这里存一下Node* parentParent = parent->_parent;//把父亲节点放到左子树的右，同时改变父亲的父亲指针的指向subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树 // 如果是整棵树的根，要修改_root // 如果是局部的指针要跟上一层链接 if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{//可能是左子树往上更改的if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}//也可能是右子树else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//完成上面的旋转后，根据我们上面画的图，平衡因子一定是0parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.4左单旋

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这⾥a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类 似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转 原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

2.3.5左单旋的代码实现

左单旋的实现实际就是右单旋逻辑的反向。

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;//右子树Node* subRL = parent->_right->_left;//右子树的左子树//1、先改parent与subRL的关系parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//记录父亲的父亲Node* parentParent = parent->_parent;//2、再修改subR与parent的关系subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//3、最后修改父亲的父亲和subR的关系，注意判断parent可能为根if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent)parentParent->_left = subR;elseparentParent->_right = subR;subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

2.3.6左右双旋

如图，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

上面两张图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL 子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为 我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引 发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋 转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

这里对于情景一，上面是直接一次把左单旋和右单旋一次画出来了，这里我细化了一下：

2.3.7左右双旋代码实现

左右单旋实际上就是左单旋和右单旋的组合，这里直接复用就行。

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = parent->_left->_right;//记录插入后subLR的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);//左单旋RotateR(parent);//右单旋if (bf == 0)//对应场景三{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if(bf == -1)//对应场景一{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)//对应场景二{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

2.3.8右左双旋

• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋 转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

 对于场景一我也是单独拿出来拆开画了一下：

 2.3.9右左双旋的代码实现

同左右双旋：

	void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = parent->_right->_left;//记录插入后subRL的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);//右单旋RotateL(parent);//左单旋if (bf == 0)//对应场景三{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1)//对应场景一{parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1)//对应场景二{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

2.4AVL树的查找

拿二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

	Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}

2.5AVL树平衡检测

	int _height(Node* node){if (node == nullptr){return 0;}int LeftHeight = _height(node->_left);int RightHeight = _height(node->_right);return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;}bool IsBlanceTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int LeftHeight = _height(root->_left);int RightHeight = _height(root->_right);int diff = RightHeight - LeftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// root的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

2.6补全insert

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//while循环找到需要插入节点的位置while (cur){//插入的值大于节点的值，往树的右边走if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}//小于的话往左走else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}//相同的值不能再插入else{return false;}}//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr//此时的parent节点存储的是叶子结点cur = new Node(kv);//大于插入到右边小于插入到左边if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//还需要更新平衡因子while (parent){//平衡因子=右子树高度-左子树的高度if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等if (parent->_bf == 0)break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//这里需要旋转处理，后面说if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误assert(false);}}return true;}