神经网络构建原理(以MINIST为例)

在 MNIST 手写数字识别任务中，构建神经网络并训练模型来进行分类是经典的深度学习应用。MNIST 数据集包含 28x28 像素的手写数字图像（0-9），任务是构建一个神经网络，能够根据输入的图像预测对应的数字。本文将通过该案例详细介绍神经网络的逻辑框架和具体的计算流程。

神经网络构建框架

1.数据预处理

• 将输入数据进行标准化处理（归一化），并将标签转换为适合模型的格式（ one-hot 编码）。

2.模型构建

• a.输入层：定义输入的大小（将 28x28 的图像展平为 784 维向量）。
• b.隐藏层：添加一个或多个隐藏层，每层包含一定数量的神经元，并应用激活函数（如 ReLU）[实际上神经元相当于维数，该过程即是对原特征维数进行扩维或降维]。
• c.输出层：定义输出层的神经元数量（与分类类别一致），通常使用 Softmax 函数将输出转换为概率。

3.前向传播

• 执行输入层到隐藏层、再到输出层的矩阵乘法和激活函数，计算输出值。

4.损失函数计算

• 使用交叉熵等损失函数，计算预测输出与真实标签之间的误差。

5.反向传播

• 通过链式法则，计算损失函数对每个参数的偏导数，并更新权重和偏置项。

6.优化器更新

• 使用优化器（如 SGD、Adam）基于计算的梯度更新模型参数，降低损失值。

7.迭代训练

• 不断重复前向传播、损失计算和反向传播，直到损失收敛或达到设定的训练轮次。

8.模型评估与预测

• 训练完成后，用测试数据评估模型性能，并进行新数据的预测。
  
  

神经网络的具体计算流程

接下来以MINIST手写数字识别为例，模拟神经网络构建的具体计算过程。

假设该网络包含 两个隐藏层，每个隐藏层有 25 个神经元，最后的输出层为 10 个神经元。

1. 前向传播（Forward Propagation）

1.1输入层到第一个隐藏层：

• 输入大小：假设输入图像是 28x28 的像素矩阵，展平成 784 维的向量。$$x\in {\mathbb{R}}^{784\times 1}$$

• 权重矩阵：连接输入层到第一个隐藏层的权重矩阵，大小为 25x784，[因为特征向量是列向量，所以需要转置]。$$W_1\in {\mathbb{R}}^{25\times 784}$$

• 偏置项：第一个隐藏层的偏置项，大小为 25x1。$$b_1\in {\mathbb{R}}^{25\times 1}$$

• 激活函数：使用 ReLU 激活函数。

计算步骤：

• 执行矩阵乘法$$z_1=W_1\cdot x+b_1$$

$z_1$ 的维度是 25x1。

• 应用 ReLU 激活函数：$$h_1=\text{ReLU}(z_1)$$

其中：$$\text{ReLU}(z_1)=\max (0,z_1)$$

• 结果：第一个隐藏层的输出 $h_1$ 是 25 维的向量。
  

1.2第一个隐藏层到第二个隐藏层：

• 权重矩阵：连接第一个隐藏层到第二个隐藏层的权重矩阵，大小为 25x25。$$W_2\in {\mathbb{R}}^{25\times 25}$$

• 偏置项：第二个隐藏层的偏置项，大小为 25x1。$$b_2\in {\mathbb{R}}^{25\times 1}$$

计算步骤：

• 执行矩阵乘法$$z_2=W_2\cdot h_1+b_2$$

$z_2$的维度是 25x1。

• 应用 ReLU 激活函数：$$h_2=\text{ReLU}(z_2)$$

• 结果：第二个隐藏层的输出 $h_2$ 仍然是 25 维的向量。

1.3第二个隐藏层到输出层：

• 权重矩阵：连接第二个隐藏层到输出层的权重矩阵，大小为 10x25。$$W_3\in {\mathbb{R}}^{10\times 25}$$

• 偏置项：输出层的偏置项，大小为 10x1。$b_3\in {\mathbb{R}}^{10\times 1}$

计算步骤：

• 执行矩阵乘法$$z_3=W_3\cdot h_2+b_3$$

$z_3$的维度是 10x1。

• 应用 Softmax 函数将输出转换为概率：$$\text{Softmax}(z_3{)}_i=\frac{e^{z_{3i}}}{{\sum }_{j=1}^{10}{e}^{z_{3j}}}$$

Softmax 输出是 10 维的概率向量，表示输入属于 0-9 的概率。

2. 损失计算

使用交叉熵损失函数来计算预测输出与真实标签之间的误差,假设真实标签是 one-hot 编码的向量$y\in {\mathbb{R}}^{10}$,其中,
$y_i=1$ 表示真实类别，$p_i=\text{Softmax}(z_3{)}_i$ 表示模型对类别 $i$ 的预测概率。

交叉熵损失公式：$$L=-\sum _{i=1}^{10}{y}_i\log (p_i)$$

损失计算步骤：

• 对于每一个样本，计算预测类别对应的概率 $p_i$ 的对数，然后计算损失 $L$。

3. 反向传播（Backward Propagation）

反向传播的目标是通过链式法则计算损失函数对每层权重的偏导数，并更新权重矩阵。

3.1输出层到第二个隐藏层：

• 计算损失对输出层的导数：$$\frac{\partial L}{\partial z_3}=\text{Softmax}(z_3)-y$$

• 计算损失对$W_3$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial W_3}=\frac{\partial L}{\partial z_3}\cdot h_2^T$$

• 计算损失对$b_3$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial b_3}=\frac{\partial L}{\partial z_3}$$

3.2第二个隐藏层到第一个隐藏层：

• 损失传播到第二层的输出$h_2$：$$\frac{\partial L}{\partial h_2}=W_3^T\cdot \frac{\partial L}{\partial z_3}$$

• 计算 ReLU 激活函数的导数：$$\frac{\partial L}{\partial z_2}=\frac{\partial L}{\partial h_2}\cdot {\text{ReLU}}^{\prime }(z_2)$$

其中：$${\text{ReLU}}^{\prime }(z_2)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{z}_2>0\\ 0& \text{if }{z}_2\le 0\end{array}$$

• 计算损失对$W_2$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial W_2}=\frac{\partial L}{\partial z_2}\cdot h_1^T$$

• 计算损失对$b_2$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{\partial L}{\partial z_2}$$

3.3第一个隐藏层到输入层：

• 损失传播到第一层的输出$h_1$：$$\frac{\partial L}{\partial h_1}=W_2^T\cdot \frac{\partial L}{\partial z_2}$$

• 计算 ReLU 激活函数的导数：$$\frac{\partial L}{\partial z_1}=\frac{\partial L}{\partial h_1}\cdot {\text{ReLU}}^{\prime }(z_1)$$

• 计算损失对$h_1$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial W_1}=\frac{\partial L}{\partial z_1}\cdot x^T$$

• 计算损失对$b_1$的导数：$$\frac{\partial L}{\partial b_1}=\frac{\partial L}{\partial z_1}$$

4. 权重更新

使用梯度下降算法或 Adam 优化器来更新权重。

更新公式：$$W=W-\eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W}$$

• $W$是权重矩阵，$\eta$是学习率，$\frac{\partial L}{\partial W}$ 是损失函数关于权重的梯度。

权重更新步骤在每一层执行：

• 更新 $W_1$,$W_2$,$W_3$和对应的偏置项$b_1$,$b_2$,$b_3$。

5. 优化器（Adam）介绍

Adam 优化器通过结合动量和自适应学习率进行参数更新。详细的更新公式在上面的回答中已经给出。

1.一阶动量估计:
计算当前梯度${\nabla }_{\theta }L$的加权平均，用来估计梯度的期望。这个一阶动量主要是累积之前的梯度，使得更新方向更加平滑。

$$m_t={\beta }_1{m}_{t-1}+(1-{\beta }_1){\nabla }_{\theta }L$$
${\beta }_1$是一阶动量的衰减率，通常取值为 0.9。
$m_t$是当前的动量（梯度的指数加权平均）。

2.二阶矩估计：
计算当前梯度平方的加权平均，估计梯度的方差，用来调节学习率，避免更新步长过大。
$$v_t={\beta }_2{v}_{t-1}+(1-{\beta }_2)({\nabla }_{\theta }L{)}^2$$
${\beta }_2$是二阶动量的衰减率，通常取值为 0.999。
$v_t$是梯度平方的指数加权平均。

3.偏差修正：
由于${\hat{m}}_t$和${\hat{v}}_t$在前几步可能会有较大的偏差，Adam 引入了偏差修正，减少估计的偏差。
$${\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t},{\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t}$$
${\hat{m}}_t$和${\hat{v}}_t$是偏差修正后的动量和二阶矩估计.

4.参数更新：
使用修正后的动量和方差来更新参数。Adam 的更新方式是自适应的，能根据梯度的历史动态调整学习率。
$$W_{t+1}=W_t-\eta \frac{{\hat{m}}_t}{\sqrt{{\hat{v}}_t}+ϵ}$$
$\eta$是学习率，通常取值在 0.001 左右。
$ \epsilon$是一个小的平滑项，避免除以零，通常为$10^{-8}$ 。

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Reference:

1. TensorFlow Documentation
2. CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition
3. Adam Optimizer Paper
4. Gradient Descent and Backpropagation Overview
5. https://www.deeplearningbook.org/
6. http://cs231n.github.io/optimization-2/

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