DFS：深度优先搜索

• DFS与BFS的对比

• • DFS使用栈来实现，BFS使用队列来实现
• • DFS所需要的空间是$O(h)$,而BFS需要的空间是$O(2^h)$,其中h是树的高度；
• • DFS不具有最短路的特性，BFS有最短路的特性

DFS回溯的时候，一定要记得恢复现场

经典问题：全排列问题、n皇后问题

Acwing 842.排列数字

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

思路1：直接使用 C++标准库里面的next_permutation() 函数生成数组的下一个排列，直到所有排列生成完成。
具体代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;  // 输入 n// 初始化数组，从 1 到 nint num[n];for (int i = 0; i < n; i++) {num[i] = i + 1;}// 按照字典序输出所有排列do {for (int i = 0; i < n; i++) {cout << num[i] << " ";}cout << endl;} while (next_permutation(num, num + n));  // 使用 next_permutation 生成下一个排列return 0;
}

但此题还是要以练习DFS为主。
思路2：使用深度优先搜索，n = 3的图示如下：

• 每次搜索确实一个位置的数字，然后回溯判断是否有其它可能，回溯后要恢复现场（st[i] = false);
• 设置一个结果数组path[,存储每次确定放置的数字。dfs递归参数设置为u，表示要判断的第几个数字，若u=n表示找到一个序列输出，然后回溯（注意u从0开始，u=n时就意味着放置好了n个数）
• • 设置一个bool数组st[],st[i] = true表示数字i已经放置，否则未放置；
• • 若未放置，则将i放在当前位置path[u]，且设置st[i] = true;
• • 然后递归到下一个位置dfs(u+1),继续判断放置
• • 到达最后一个位置输出一次结果后，回溯，恢复现场，设置st[i] = false,然后继续循环判断这个位置放另一个数；

具体代码（详解版）

#include <iostream>  
#include <algorithm>  using namespace std;  const int N = 10;int n;
int path[N];//path存储结果（从0开始）
bool st[N];//st表示当前数字是否已经使用（放置）（从1开始）初始化默认为false//深度优先搜素
void dfs(int u){if(u == n){//u表示当前处理第几个数，u=n时已经处理n个for(int i = 0;i < n; i ++) cout << path[i] << ' ';cout << endl;return;}//否则继续搜索for(int i = 1; i <= n; i ++){if(!st[i]){//当前数字未被使用path[u] = i;//使用st[i] = true;dfs(u+1);//递归到下一个st[i] = false;//回溯后要恢复现场}}
}int main(){cin >> n;dfs(0);//从0开始return 0;
}

Acwing 843. n-皇后问题

输入样例：

4

输出样例：

.Q…
…Q
Q…
…Q.
…Q.
Q…
…Q
.Q…

思路分析：按行(u)枚举，dfs(u)

• 确定n个位置，每次需要回溯和剪枝（即发现条件不符合时直接跳过这种情形，而不是把这种情况完成在进行排除，从而减少了时间复杂度操作；
• 条件判断包括行、列、主对角线、副对角线。u表示目前放置第几个皇后，也表示第几行。列用i作为循环条件，每次确定一行中某个(u,i)放置皇后
• • 对于行：由于每行只有一个皇后，要放置n个皇后，每次递归处理一行，放置一个皇后，u=n时，结束表示放置完毕，即行为隐藏编号，无需额外的行数组；
• • 对于列：设置一个列数组col[],bool型，col[i]为true时表示当前列i已有皇后；
• • 对于主对角线：同样设置一个bool数组dg[]，dg[u+i]为true时表示当前位置的主对角线方向有皇后；
• • 对于副对角线：设置一个bool数组udg[]，udg[i-u+n]为true时表示当前位置的副对角线方向有皇后；

关于为什么是u+i，i-u+n：如果将棋盘类比成平面直角坐标系，左上角的点就是坐标原点O。可以把u看作横坐标，i看作纵坐标，若主对角线v1是不通过O的，那么v1上的点的横纵坐标之和不变，即u+i不变，副对角线v2上的点的横纵坐标之差不变即i-u不变，但是i-u可能会小于0（最小为0-8==-8），由于数组下标的限制，所以要对i-u加8。这样确保编号是正数，并且每条副对角线有唯一的编号，适合在数组中进行索引。(如下图)

• 注意每次回溯前，即放置皇后后，要设置当前列、主对角、副对角为true；回溯后要设置当前列、主对角、副对角为false（即回到当前位置要恢复现场）

具体代码实现（详解版）：

#include <iostream>using namespace std;const int N = 20;int n;
char g[N][N]; // 用于存储棋盘
bool col[N], dg[N], udg[N]; // 列标记，主对角线标记，副对角线标记// 深度优先搜索函数
void dfs(int u) { // u 表示当前处理的行，从0开始，表示第一行if (u == n) { // 当 u == n 时，表示所有行都已经放置了皇后for (int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]); // 输出当前棋盘，puts直接按行输出puts(""); // 输出空行return;}// 继续处理当前行的每一列for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历每一列if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) { // 如果当前列、主对角线、副对角线都没有皇后g[u][i] = 'Q'; // 在当前格子放置皇后col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true; // 更新列和对角线标记dfs(u + 1); // 递归处理下一行col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false; // 回溯，恢复标记g[u][i] = '.'; // 移除皇后，恢复棋盘}}
}int main() {cin >> n; // 输入棋盘大小 n// 初始化棋盘，每个格子为空for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {g[i][j] = '.';}}dfs(0); // 从0开始，表示第一行return 0;
}

总结：DFS 是一种强大且灵活的搜索算法，广泛应用于图搜索、树遍历、回溯法等问题中。通过深入每条可能路径来探索解，DFS 可以高效解决很多组合类问题。
DFS 通常通过递归实现，伪代码如下：

void dfs(节点 u) {if (u 是目标节点) {处理当前节点的结果；return;}for (每个与 u 相邻的节点 v) {if (v 未访问) {标记 v 为已访问；继续从 v 进行深度优先搜索；回溯后恢复 v 的状态； // 如果需要继续探索其他路径}}
}