数学基础 -- 勒让德多项式之矩阵与内积

勒让德多项式与内积计算

1. 欧几里得空间中的向量内积

在欧几里得空间中，向量的内积定义为：

$\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n$

如果向量 $\mathbf{v} = (x, y, z, h)$ ，则其与自身的内积为：

$\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = x^2 + y^2 + z^2 + h^2$

这种内积计算方式适用于有限维向量，如二维或三维向量。

2. 为什么勒让德多项式的内积使用定积分？

勒让德多项式是一类函数，而不是简单的有限维向量。对于函数空间中的“向量”，其内积通过定积分来定义。两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的内积定义为：

$\langle f(x), g(x) \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx$

对于勒让德多项式，内积的区间为 $[- 1, 1]$ ，因此：

$\langle P_m(x), P_n(x) \rangle = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx$

这意味着勒让德多项式的正交性是在特定区间上通过积分来衡量的。

3. 勒让德多项式的定义

勒让德多项式 $P_n(x)$ 是一类常用的正交多项式，可以通过递归公式生成。前几项勒让德多项式为：

$P_0(x) = 1$
$P_1(x) = x$
$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$
$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$
$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$

4. 勒让德多项式的矩阵表示

可以将勒让德多项式的系数作为列向量组成矩阵。对于 $P_0(x)$ 到 $P_3(x)$ ，我们可以写出如下矩阵表示：

$P_0(x) = 1 \quad \text{表示为} \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$P_1(x) = x \quad \text{表示为} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \quad \text{表示为} \quad \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \quad \text{表示为} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

矩阵 $M$ 为：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

5. 勒让德多项式的内积计算步骤

例子 1：计算 $P_1(x)$ 和 $P_2(x)$ 的内积

已知 $P_1(x) = x$ 和 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ ，计算它们在区间 $[- 1, 1]$ 上的内积：

$\langle P_1(x), P_2(x) \rangle = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \, dx$

展开后：

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x(3x^2 - 1) \, dx$

$\frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{1} 3x^3 \, dx - \int_{-1}^{1} x \, dx \right)$

分别计算每一项：

$\int_{-1}^{1} 3x^3 \, dx = 0$
$\int_{-1}^{1} x \, dx = 0$

因此：

$\langle P_1(x), P_2(x) \rangle = \frac{1}{2} \times (0 - 0) = 0$

这验证了 $P_1(x)$ 和 $P_2(x)$ 的正交性。

例子 2：计算 $P_2(x)$ 与自身的内积

计算 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ 的自内积：

$\langle P_2(x), P_2(x) \rangle = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \right)^2 \, dx$

展开后：

$\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} (9x^4 - 6x^2 + 1) \, dx$

分别计算每一项：

$\int_{-1}^{1} 9x^4 \, dx = \frac{18}{5}$
$\int_{-1}^{1} (-6x^2) \, dx = -4$
$\int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2$

总和为：

$\frac{1}{4} \left( \frac{18}{5} - 4 + 2 \right) = \frac{2}{5}$

因此， $P_2(x)$ 的自内积为 $\frac{2}{5}$ 。

6. 总结

欧几里得空间中的向量内积是通过坐标的乘积和计算的。
函数空间中的内积需要通过定积分计算，适用于处理连续函数。
勒让德多项式在 $[- 1, 1]$ 区间上是正交的，并且它们的内积可以通过定积分验证。

通过上述步骤，我们可以深入理解勒让德多项式的正交性及其内积的计算过程。

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