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原题

2023ICPC澳门真题传送

B站动画详解

问题分析

题目要求从房间 $0$ 到达房间 $x$ 的最小能量消耗。可以进行两种操作：传送到房间 $(i+a_i)\%n$ 或者增加当前房间的数值 $a_i$。每次操作都消耗一点能量，问题的本质是一个最短路径问题。

这个问题可以通过图论中的单源最短路径算法来解决。我们将每个房间视为图中的节点，操作视为从一个节点到另一个节点的边，求解从节点 $0$ 到节点 $x$ 的最短路径。

思路分析

图的构建

1. 传送操作：
   如果在房间 $i$ 进行传送操作，可以跳到房间 $(i+a_i)\%n$。因此，这个操作在图中表示为一条从节点 $i$ 到节点 $(i+a_i)\%n$ 的有向边，权值为 $1$。

2. 数值增加操作：
   如果选择增加房间的数值 $a_i\leftarrow a_i+1$，则可以使得下次传送跳到下一个房间，因此在图中可以加入一条从房间 $i$ 到房间 $i+1$ 的边，权值也为 $1$。

3. 特殊处理房间 $0$：
   为了处理房间 $0$ 的特殊情况（即只有在第二次及以后回到房间 $0$ 时，才会从 $0$ 引出一条边到 $1$），我们引入一个额外的节点 $n$，表示从 $0$ 多次到达的状态。

最短路径算法

使用 Dijkstra 算法来计算从节点 $0$ 到节点 $x$ 的最短路径。Dijkstra 算法适用于具有非负权值的图，在该题中，每条边的权值为 $1$，正好符合该算法的要求。

具体步骤

1. 初始化图，将每个节点与其对应的边构建好。
2. 运行 Dijkstra 算法，计算从节点 $0$ 出发到所有节点的最短路径。
3. 输出节点 $x$ 的最短距离，即为答案。

算法实现

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。它通过优先队列（最小堆）来确保每次扩展的节点是当前距离最短的节点，从而保证计算出的路径是最优的。在本题中，我们将图中的每条边的权值设为 $1$，因此算法能够高效地计算最短路径。

图的构建

对于每个房间 $i$，我们有两种操作：

1. 传送到房间 $(i+a_i)\%n$，这在图中表示为一条从节点 $i$ 到节点 $(i+a_i)\%n$ 的边。
2. 增加数值 $a_i$ 后，可以使得下一次传送跳到下一个房间。因此，我们加入一条从节点 $i$ 到节点 $i+1$ 的边。

另外，为了处理房间 $0$ 的特殊情况，我们加入了一个节点 $n$，用来表示从房间 $0$ 多次到达的状态。

代码详解

标准代码程序

C++代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
vector<pair<int,int>> G[N];  // 图的邻接表
int dis[N], a[N], vis[N], n, x;// Dijkstra 算法求单源最短路径
void dij(int st, int *dis) {for(int i = 0; i <= n; i++) {vis[i] = 0;dis[i] = INT_MAX;}priority_queue<pair<int,int>> q;dis[st] = 0;q.push({0, st});while(q.size()) {int w = -q.top().first;int u = q.top().second;q.pop();if(vis[u]) continue;vis[u] = 1;for(auto v : G[u]) {int to = v.first;int s = v.second;if(dis[to] > w + s) {dis[to] = w + s;q.push({-dis[to], to});}}}
}int main() {cin >> n >> x;for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];// 构建图for(int i = 0; i <= n; i++) {int to = (i + a[i % n]) % n;if(to == 0) to = n;  // 处理到达 0 的情况G[i].push_back({to, 1});if(i >= 1) {  // 增加数值后的操作to = i + 1;if(to > n) to = 1;G[i].push_back({to, 1});}}// 运行 Dijkstra 算法dij(0, dis);// 输出结果cout << dis[x];
}

Java代码

import java.util.*;public class Main {static class Pair implements Comparable<Pair> {int dist, node;Pair(int dist, int node) {this.dist = dist;this.node = node;}@Overridepublic int compareTo(Pair other) {return Integer.compare(this.dist, other.dist);}}static final int N = 100010;static List<Pair>[] G = new ArrayList[N];static int[] dis = new int[N], a = new int[N], vis = new int[N];static int n, x;static void dijkstra(int st) {Arrays.fill(vis, 0);Arrays.fill(dis, Integer.MAX_VALUE);PriorityQueue<Pair> pq = new PriorityQueue<>();dis[st] = 0;pq.add(new Pair(0, st));while (!pq.isEmpty()) {Pair p = pq.poll();int w = p.dist, u = p.node;if (vis[u] == 1) continue;vis[u] = 1;for (Pair v : G[u]) {int to = v.node, s = v.dist;if (dis[to] > w + s) {dis[to] = w + s;pq.add(new Pair(dis[to], to));}}}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();x = sc.nextInt();for (int i = 0; i <= n; i++) G[i] = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = sc.nextInt();for (int i = 0; i <= n; i++) {int to = (i + a[i % n]) % n;if (to == 0) to = n;G[i].add(new Pair(1, to));if (i >= 1) {to = i + 1;if (to > n) to = 1;G[i].add(new Pair(1, to));}}dijkstra(0);System.out.println(dis[x]);}
}

Python代码

import heapqdef dijkstra(st, n, G):dis = [float('inf')] * (n + 1)vis = [False] * (n + 1)dis[st] = 0pq = [(0, st)]  # (distance, node)while pq:w, u = heapq.heappop(pq)if vis[u]:continuevis[u] = Truefor v, s in G[u]:if dis[v] > w + s:dis[v] = w + sheapq.heappush(pq, (dis[v], v))return disdef main():n, x = map(int, input().split())a = list(map(int, input().split()))G = [[] for _ in range(n + 1)]for i in range(n):to = (i + a[i % n]) % nif to == 0:to = nG[i].append((to, 1))if i >= 1:to = i + 1if to > n:to = 1G[i].append((to, 1))dis = dijkstra(0, n, G)print(dis[x])if __name__ == "__main__":main()

Javascript代码

function dijkstra(st, n, G) {const dis = Array(n + 1).fill(Infinity);const vis = Array(n + 1).fill(false);const pq = [[0, st]]; // [distance, node]dis[st] = 0;while (pq.length) {pq.sort((a, b) => b[0] - a[0]); // Max-heap simulated with sortingconst [w, u] = pq.pop();if (vis[u]) continue;vis[u] = true;for (const [v, s] of G[u]) {if (dis[v] > w + s) {dis[v] = w + s;pq.push([dis[v], v]);}}}return dis;
}function main() {const [n, x] = prompt().split(' ').map(Number);const a = prompt().split(' ').map(Number);const G = Array.from({ length: n + 1 }, () => []);for (let i = 0; i < n; i++) {let to = (i + a[i % n]) % n;if (to === 0) to = n;G[i].push([to, 1]);if (i >= 1) {to = i + 1;if (to > n) to = 1;G[i].push([to, 1]);}}const dis = dijkstra(0, n, G);console.log(dis[x]);
}main();

复杂度分析

时间复杂度

Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O((n+m)\log n)$，其中 $m$ 是边的数量。在本题中，图中的边数量近似为 $2n$，所以复杂度为 $O(n\log n)$。

空间复杂度

图的存储空间为 $O(n)$，距离数组和访问标记数组的空间也为 $O(n)$，因此总体空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题通过将问题转化为图论中的最短路径问题，并使用 Dijkstra 算法来高效求解。算法的关键在于合理构建图结构，并充分考虑不同操作的边权关系。通过引入虚拟节点，处理特殊情况，使得问题的求解更加简洁明了。这种图论思想在处理类似问题时具有广泛应用，特别是在路径规划与最优决策问题中。