带有扰动观测器的MPC电机控制

模型预测控制(Model Predictive Contro1, MPC)是一种先进的控制策略，虽然具有鲁棒性、建模简单、处理多变量系统、显示约束、预测未来行为和优化性能的能力等优势。它的不足在于预测控制行为的计算需要繁琐的计算量，以及抗干扰能力较弱。这里提出基于扰动观测器的鲁棒MPC控制策略；

速度模型建模

$\dot{\omega}_m=\frac{1}{J_m}\left( k_fi_q-B_m\omega _m-T_L \right)$

基于扰动前馈补偿的两种策略：

1) 通过扰动观测器估计当前时刻的负载转矩 $T_L$ ，进而构造前馈组件 $\frac{T_L}{J_m}$ 实现简单的前馈补偿来提高模型预测控制的抗干扰能力。

2) 除了当前时刻负载扰动的影响外，扰动未来可能行为的影响被主动嵌入到输出预测中，显著提高了时变扰动存在下的预测精度和动态性能，这类方法称为鲁棒MPC。

本次只针对第一个基于扰动前馈补偿策略设计，具体分为两方面：

第一方面扰动观测器设计；

第二方面MPC设计。

一、扩张状态观测器设计

$\begin{cases} \dot{\omega}_m=\frac{1}{J_m}\left( k_fi_q-B_m\hat{\omega}_m-\hat{T}_L \right) -l_1\left( \hat{\omega}_m-\omega _m \right)\\ \dot{\hat{T}}_L=l_2\left( \hat{\omega}_m-\omega _m \right)\\ \end{cases}$

具体地稳定性证明可以参考相关文献[1]。

估计负载扰动的方法有很多，这里就不多介绍，最常用的有扩张状态观测器和滑模观测器。想系统地了解和学习观测器系列的内容，可以参考视频B站up：拾小白电控foc。

二、MPC基本概念

MPC的主要步骤包括:

模型预测:使用系统的数学模型预测未来的输出。
滚动优化:在每个控制周期内，求解一个优化问题，找到最佳的控制序列。
反馈修正:每个周期只实施第一个控制输入，然后重新测量系统状态并重复这个过程。

电机速度环一阶系统模型：

$\dot{\omega}_m=\frac{1}{J_m}\left( k_fi_q-B_m\omega _m \right)$

令 $z=\omega _m$ 和 $i_q\left( k \right) =u\left( k \right)$ 则采用前向欧拉离散化方法：

$\begin{cases} z\left( k+1 \right) =\left( 1-\frac{T_sB_m}{J_m} \right) z\left( k \right) +\frac{T_sk_f}{J_m}u\left( k \right) =A_zz\left( k \right) +B_zu\left( k \right)\\ y_z\left( k \right) =z\left( k \right) =C_z\left( k \right)\\ \end{cases}$

第一步预测：

$\begin{cases} z\left( k+1 \right) =A_zz\left( k \right) +B_zu\left( k \right)\\ y_z\left( k+1 \right) =C_zz\left( k+1 \right)\\ \end{cases}$

第二步预测：

$\begin{cases} z\left( k+2 \right) =A_{2}^{2}z\left( k \right) +A_zB_zu\left( k \right) +B_zu\left( k+1 \right)\\ y_z\left( k+2 \right) =C_zz\left( k+2 \right)\\ \end{cases}$

第三步预测：

$\begin{cases} z\left( k+3 \right) =A_{z}^{3}z\left( k \right) +A_{z}^{2}B_zu\left( k \right) +A_zB_zu\left( k+1 \right) +B_zu\left( k+2 \right)\\ y_z\left( k+3 \right) =C_zz\left( k+3 \right)\\ \end{cases}$

$\cdots$

$N_p$ 步预测：

$\begin{cases} z\left( k+N_p \right) =A_{z}^{N_p}z\left( k \right) +A_{z}^{N_p-1}B_zu\left( k \right) +\cdots +\sum_{i=0}^{N_p-N_c}{A_{z}^{i}B_zu\left( k+N_c-1 \right)}\\ y_z\left( k+N_p \right) =C_zz\left( k+N_p \right)\\ \end{cases}$

其中 $N_p$ 是预测步长， $N_c$ 是控制步长。

定义预测输出序列 $Y_z$ 、控制输入序列 $U_z$ 如下：

$Y_z=\left[ \begin{matrix} y_z\left( k \right)& y_z\left( k+1 \right)& \cdots& y_z\left( k+N_p \right)\\ \end{matrix} \right] ^T$

$U_z=\left[ \begin{matrix} u\left( k \right)& u\left( k+1 \right)& \cdots& u\left( k+N_c-1 \right)\\ \end{matrix} \right] ^T$

因此，输出预测方程可以组织成矩阵形式如下:

$Y_z=F_zz\left( k \right) +\varPhi _zU_z$

$F_z=\left[ \begin{matrix} C_zA_z& C_zA_{z}^{2}& \cdots& C_zA_{z}^{N_p}\\ \end{matrix} \right] ^T$

$\varPhi _z=\left[ \begin{matrix} C_zB_z& 0& \cdots& 0\\ C_zA_zB_z& C_zB_z& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ C_zA_{z}^{N_p-1}B_z& C_zA_{z}^{N_p-2}B_z& \cdots& C_zB_z\\ \end{matrix} \right]$

参考信号序列：

$Y_r=\left[ \begin{matrix} y_r\left( k \right)& y_r\left( k+1 \right)& \cdots& y_r\left( k+N_p \right)\\ \end{matrix} \right] ^T$

因此代价函数被设计如下：

$J=\left( Y_z-Y_r \right) ^TQ\left( Y_z-Y_r \right) +\left( U_z-U_r \right) ^TR\left( U_z-U_r \right)$

其中 $z_r\left( k \right) =y_r\left( k \right)$

展开代价函数：

$J=\psi +\frac{1}{2}U_{z}^{T}GU_z+U_{z}^{T}H$

$G=2\left( \varPhi _{z}^{T}Q\varPhi _z+R \right)$

$\varPsi =\left( F_zz\left( k \right) -Y_r \right) ^TQ\left( F_zz\left( k \right) -Y_r \right) +U_{r}^{T}RU_r$

$H=2\left( \varPhi _{z}^{T}QF_zz\left( k \right) -\varPhi _{z}^{T}QY_r-RU_r \right)$

将优化问题转化为二次规划约束问题，

$\underset{U_z}{\min}J=\frac{1}{2}U_{z}^{T}GU_z+U_{z}^{T}H$

求解得到最优的虚拟控制序列:

$U^*=\left[ \begin{matrix} u^*\left( k \right)& u^*\left( k+1 \right)& \cdots& u^*\left( k+N_c-1 \right)\\ \end{matrix} \right] ^T$

取第一个值。

加入约束 $U_{\min}\leqslant U_z\leqslant U_{\max}$ ，二次规划问题如下：

$\underset{U_z}{\min}J=\frac{1}{2}U_{z}^{T}GU_z+U_{z}^{T}H \\ s.t.U_z\leqslant U_{\max} \\ -U_z\leqslant U_{\min}$

三、带有扰动补偿的MPC控制

最终的控制律设计：

$u\left( k \right) =u^*\left( k \right) +\frac{1}{k_f}\hat{T}_L$

四、仿真

在0.5s处加入 $T_L=2.4N\cdot m$ ：

无扰动观测器的MPC控制

带有扰动观测器的MPC控制

转速跟踪：

负载扰动估计：

[1]Chen W, Yun J ,Guo L , et al.Disturbance-Observer-Based Control and Related Methods - An Overview.[J].IEEE Trans. Industrial Electronics,2016,63(2):1083-1095.

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