前缀和
一维前缀和（区间）
- 这样的好处是，可以以
O(1)的时间复杂度来计算。而不是遍历O(n)。 - 当读入数据非常大（>1000000）的时候，建议使用
scanf()来读取数据，会比cin >>快很多。 - 在全局开数组的时候比如
A[100][100];，a[10010]不必手动定义下标0的元素为0，因为初始化之后所有元素的值均为0.
- 递推公式（前缀和的初始化）
读入数组a[N]之后，前缀和的初始化：
for(int i = 1; i <= n; i ++)S[i] = S[i - 1] + a[i];
- 任意连续区间
[l, r]的部分和
部分和
= S[r] - S[l-1]
= a[l] + a[l+1] + ... + a[r]
例如，求区间[1,10]区间的和，就是 S[10] - S[0]。
二维前缀和（子矩阵）
这个定义方式和循环有关。。
- 递推公式（前缀和的初始化）
for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)S[i][j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1] + a[i][j];
- 子矩阵元素的和（部分和）
下标为1都-1
公式：
S[x1,y1][x2,y2] = S[x2,y2] - S[x1-1,y2] - S[x2,y1-1] + S[x1-1,y1-1]
综合运用 步骤
差分
一维差分
作用：
- .对数组a[] 求一遍前缀和就可以得到数组S[]
O(n) - 使得已知原数组
S[]在区间[l, r]上实现：S[l]+c, S[l+1]+c...S[r]+c。
只需要a[l]+c; a[r+1]+c：
注意，如果使用暴力做法，时间复杂度是 O(n),使用差分数组，时间复杂度是 O(1)
综合运用 步骤
-
具体的insert()函数 初始化差分数组的原理就是利用
a[n] = S[n] - S[n-1]:
-
读入已知数组S[];利用insert()函数初始化差分数组a[]；根据请求修改差分数组；之后求出修改后对应的答案数组S[]，有两种方法：
1）使用递推公式修改原数组S[]
for(int i = 1; i <= n; i ++)S[i] = S[i-1] + a[i];
2）直接把差分数组改成答案数组
好吧，就像是直接拿a[]空间来储存S[]的样子…
for(int i = 1; i <= n; i ++)a[i] = a[i-1] + a[i]
二维差分（差分矩阵）
1）让a[]的子矩阵范围(x1,y1->x2,y2)内的每一个数据都加+c，只需要处理差分矩阵的四个元素即可。
2）差分矩阵开始的初始化也是通过insert()函数来实现。
3）最后求出修改后的答案数组，就是求一下修改后的a[]的前缀和就好。
关于思路解释
一开始假设前缀和数组S[]中的元素都是0，那么对应的差分数组a[]中元素也都是0—这就满足了前缀和数组恶和差分数组的对应关系。insert()函数实现的功能是使S[]特定区间上的元素S[i]都+c，使用for循环逐个insert(i,i,S[i])，逐一插入S[i]那么就构造出了已知的前缀和数组S[]。至于insert()内部对于差分数组a[]的改动，是基于可以保持a[]是S[]的差分数组这一条件下的，所以在构建完S[]数组的同时a[]也完成了构建。
