稀疏支持向量机（Sparse Support Vector Machine, Sparse SVM）

稀疏支持向量机是一种在支持向量机的基础上，通过引入稀疏性约束，使得模型参数更加稀疏，从而提高模型的可解释性和计算效率的方法。以下是稀疏支持向量机的详细数学模型理论知识推导、实施步骤与参数解读，以及两个多维数据实例（一个未优化模型，一个优化后的模型）的完整分析。

一、数学模型理论推导

1.1 线性支持向量机

首先，我们回顾线性支持向量机的基本优化问题：

1.2 稀疏支持向量机

1.3 核函数稀疏支持向量机

为了处理非线性可分的数据，我们可以使用核函数将数据映射到高维空间，同时引入稀疏性约束。优化问题变为：

二、实施步骤与参数解读

2.1 选择核函数

常用的核函数有：

2.2 参数选择

$C$ ：控制分类错误与间隔的权衡。值越大，分类错误越少，但间隔越小，容易过拟合。
$\gamma$ ：控制RBF核的宽度。值越大，高斯分布越窄，模型复杂度越高，容易过拟合。
$\lambda$ ：控制稀疏性。值越大，模型参数越稀疏。

三、多维数据实例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.feature_selection import SelectFromModel
from sklearn.linear_model import Lasso
# 生成数据
X, y = make_classification(n_samples=300, n_features=10, n_informative=5, n_redundant=5, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 未优化的稀疏SVM模型
model = SVC(kernel='linear', C=1.0)
model.fit(X_train, y_train)# 预测与结果分析
y_pred = model.predict(X_test)
print("未优化模型分类报告：")
print(classification_report(y_test, y_pred))# 可视化结果（仅展示前两个特征）
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c=y_test, cmap='coolwarm', s=30, edgecolors='k')
plt.title("未优化的稀疏SVM分类结果", fontname='KaiTi')
plt.show()
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.feature_selection import SelectFromModel
from sklearn.linear_model import Lasso# 生成数据
X, y = make_classification(n_samples=300, n_features=10, n_informative=5, n_redundant=5, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 使用Lasso进行特征选择
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X_train, y_train)# 使用SelectFromModel来进行特征选择
model_selector = SelectFromModel(lasso, prefit=True)
X_train_selected = model_selector.transform(X_train)
X_test_selected = model_selector.transform(X_test)# 优化后的稀疏SVM模型
model_optimized = SVC(kernel='linear', C=1.0)
model_optimized.fit(X_train_selected, y_train)# 预测与结果分析
y_pred_optimized = model_optimized.predict(X_test_selected)
print("优化后模型分类报告：")
print(classification_report(y_test, y_pred_optimized))# 可视化结果（仅展示前两个特征）
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_test_selected[:, 0], X_test_selected[:, 1], c=y_test, cmap='coolwarm', s=30, edgecolors='k')
plt.title("优化后的稀疏SVM分类结果", fontname='KaiTi')
plt.show()

输出结果：