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1. 网络流问题基础

1.1 概述

最大流问题主要是关于有向图问题。有向图中有m个边， n个节点,其中有一个节点为s[source],还有一个终点 t [sink],具体如下图所示：相当于从水源头s流向水槽，边上的数字表示水管边的最大容量。最大流的问题是在给定的容量情况下，就像给定如下图，如何计算这个图中每秒钟有多少水从起点s流向终点t.

• 其实就是相当于在约束条件下求最大的值，也相当于约束条件下的优化问题
  

1.2 常规算法

• 初始化：定义原始图Original-Graph-即容量图，也定义一个残差图，初始化残差图Residual-Graph等于容量图。
  

• ·循环1· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_2\to v_4\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=2
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual - x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边
  

• ·循环2· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_1\to v_3\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=2
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual-x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边
  

• ·循环3· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_1\to v_4\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=1
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual-x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边

• 最终生成的残差图后无任何路径能够满足从s到t，即循环结束
• 将原始容量图和残差结束图放在一起，更新为Flow Graph
  
• 计算总流量
  $$\begin{array}{c}s=3+2=5;t=2+3=5\end{array}$$
• 缺点：不一定会找到最大流，找到最大流取决于路径的先后顺序，这种方法会失败的，最后
• 此时流量为4+0=4
  
  
• 求得的是阻塞流。
  

1.3 总结

• 最大流问题：
  – 输入：是一个有权重的有向图，里面有初始节点s[source], 最终节点t[sink]
  – 目标：在约定的管道承载能力下求从s到t最大的流速。
  – 限制： 每个管道边有承载能力限制，流向此边的流量不能超过承载能力
• 常规算法：
  – 1. 创建一个初始的残差图，并使得残差图和容量图一样
  – 2. 循环：
  – 2.1 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 2.2 在残差图路径上根据瓶颈x更新权重值 residual=residual-x
  – 2.3 在路径上删除权重为0 的边
  – 3. 不断循环直到残差图中无任何一个从s到t的路径
  – 4. 将容量图减去最后的残差图得到最后的流量图。计算流量
• 缺点：
  – 1. 只能找到阻塞流[blocking flow]
  – 2. 输出的阻塞流不一定就是最大流

2. Ford-Fulkerson Algorithm

2.1 概述

Ford-Fulkerson Algorithm 和上面讲得算法的区别在于新增了一个回溯的路径，此算法有保障，一定能够找到最大流。常规算法不能反悔,一旦确定就不能返回，而ford可以新增回溯路径，可以把不好的路径撤销掉，所以一定能够找到最大的路径。

2.2 Ford 算法

• 初始化：定义原始图Original-Graph-即容量图，也定义一个残差图，初始化残差图Residual-Graph等于容量图。
  
• ·循环1· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_1\to v_4\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=3
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual - x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边
  – 5.加回溯：在此路径反方向上加回溯路径权重为x 的边

• ·循环2· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_1\to v_3\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=1
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual - x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边
  – 5.加回溯：在此路径反方向上加回溯路径权重为x 的边
  
• ·循环3· 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 1.找路径 ：$s\to v_2\to v_4\to v_1\to v_3\to t$
  – 2.算瓶颈： 算出路径瓶颈x=1
  – 3.更参数：更新残差图参数 residual=residual - x
  – 4.删零边：删除此路径上权值为0 的边
  – 5.加回溯：在此路径反方向上加回溯路径权重为x 的边
  
• ·4· 在残差图中从起点s到终点t中无法找一个无回路的路径,循环结束
  
• ·5· 将最终的残差图和容量图对比，并去掉回溯路径：
  
• ford 算法一定会收敛，一定会找到最大流，最差的循环次数为最大流的大小。

2.3 Ford 算法小结

• 常规算法：
  – 1. 创建一个初始的残差图，并使得残差图和容量图一样
  – 2. 循环：
  – 2.1 在残差图中从起点s到终点t中找一个无回路的路径
  – 2.2 在残差图路径上根据瓶颈x更新权重值 residual=residual-x
  – 2.3 在路径上删除权重为0 的边
  – 2.4 在此路径上新增一个回溯路径，所有的路径权重为x
  – 3. 不断循环直到残差图中无任何一个从s到t的路径
  – 4. 将得到的残差图去除到回溯路径为最终的残差图
  – 5. 将容量图减去最后的残差图得到最后的流量图。计算流量