抽象代数精解【1】

文章目录

    • 概述
      • 一、群的定义
      • 二、群的基本性质
      • 三、群的分类与例子
      • 四、群的应用
    • 难点与例子
  • 参考文献

概述

下面由文心一言生成

数学中的“群”(group)是一个重要的代数结构概念,它起源于对方程解析解的探索,由伽罗瓦(E.Galois)为了解决特定数学问题而创造。群论(group
theory)则是研究这种代数结构的数学学科。以下是对群及其相关概念的详细解释:

一、群的定义

群是一个非空集合G,以及在该集合上定义的一个二元运算“*”(通常称为乘法,但也可以是其他任何运算,只要满足群的定义),使得以下四个条件成立:

  1. 封闭性:对于G中的任意两个元素a和b,它们的乘积a*b仍然是G中的元素。
  2. 结合律:对于G中的任意三个元素a、b和c,有(ab)c=a(bc)。
  3. 单位元素(幺元):G中存在一个元素e,使得对于G中的任意元素a,都有ea=ae=a。
  4. 逆元素:对于G中的任意元素a,G中都存在另一个元素a(-1),使得a*a(-1)=a^(-1)*a=e。

如果群G中的运算还满足交换律,即对于G中的任意两个元素a和b,都有ab=ba,则称G为阿贝尔群(Abelian group)或交换群。

二、群的基本性质

群的基本性质主要包括封闭性、结合律、单位元素和逆元素,这些性质是群定义的核心。此外,群还具有以下一些重要性质:

  • 群的阶:群中元素的个数称为群的阶。有限群是指阶数有限的群,无限群则是指阶数无限的群。
  • 子群:如果群G的一个子集H对于G的乘法也构成一个群,则称H为G的子群。
  • 共轭性:设a与b是群G的两个元素,若G中存在元素x,使得b=xax^(-1),则称b与a共轭。

三、群的分类与例子

群可以根据不同的标准进行分类,如有限群与无限群、阿贝尔群与非阿贝尔群等。常见的群例子包括:

  • 置换群:集合上所有双射的集合,并定义合成映射为群的运算。
  • 循环群:群G的每一个元素都是G的某一个固定元素a的乘方,则称G为循环群。
  • 一般线性群:所有n阶实可逆方阵的集合,乘法为矩阵乘法,则构成一个群。

四、群的应用

群论在数学及其他科学领域有着广泛的应用。例如:

  • 密码学:群论的置换群理论被广泛应用于置换密码中,通过群的运算来进行加密和解密操作。
  • 物理学:群论在量子力学、固体物理学等领域中起着重要作用,用于研究对称性和守恒定律。
  • 计算机科学:群论为计算机科学提供了抽象数据类型和算法设计的基础,在数据结构和算法设计中有着重要应用。

综上所述,群是数学中一个重要的代数结构概念,具有广泛的应用前景。通过对群的研究,我们可以更好地理解数学及其他科学领域中的许多问题。

难点与例子

  • 实数域 R 上全体 n 阶方阵的集 M n ( R ) 关于矩阵的加法构成一个交换群 实数域R上全体n阶方阵的集M_n(R)关于矩阵的加法构成一个交换群 实数域R上全体n阶方阵的集Mn(R)关于矩阵的加法构成一个交换群
  • 全体 n 阶可逆方阵的集合 G L n ( R ) 关于矩阵的乘法构成群。 全体n阶可逆方阵的集合GL_n(R)关于矩阵的乘法构成群。 全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
    群 G L n ( R ) 中的单位元是 E n 可逆方阵 A ∈ G L n ( R ) 的逆元是 A 的逆矩阵 A − 1 n > 1 时 , G L n ( R ) 是一个非交换群。 群GL_n(R)中的单位元是E_n \\可逆方阵A \in GL_n(R)的逆元是A的逆矩阵A^{-1} \\n >1时,GL_n(R)是一个非交换群。 GLn(R)中的单位元是En可逆方阵AGLn(R)的逆元是A的逆矩阵A1n>1,GLn(R)是一个非交换群。
  • n次方单位根组成的集合
    U n = { x ∈ C ∣ x n = 1 } = { c o s 2 k π n + i s i n 2 k π n ∣ k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } 关于数的乘法构成一个 n 阶交换群 , 叫 n 次单位根群 1 为单位元 x n − 1 为逆元 U_n=\{x \in C|x^n=1\} \\=\{cos \frac {2k\pi} {n}+isin \frac {2k\pi} {n}|k=0,1,2,...,n-1\} \\关于数的乘法构成一个n阶交换群,叫n次单位根群 \\1为单位元 \\x^{n-1}为逆元 Un={xCxn=1}={cosn2+isinn2k=0,1,2,...,n1}关于数的乘法构成一个n阶交换群,n次单位根群1为单位元xn1为逆元
  • 模m剩余类群 Z m Z_m Zm
    1.关于加法构成群
    2.关于乘法不构成群(m>1时)
    3.但特殊元素关于乘法构成群。
    1. 设 m > 1 ,且为正整数。 2. U ( m ) = { a ˉ ∈ Z m ∣ ( a , m ) = 1 } 关于剩余类的乘法构成群。 单位元是 1 ˉ 逆元是 u ˉ , u ˉ ∈ U ( m ) ,即 U ( m ) 的每个元素在 U ( m ) 中都可逆。 ∀ a ˉ ∈ U ( m ) = > ( a , m ) = 1 a u + m v = 1 ( u , v ∈ Z ) ( u , m ) = 1 = > u ˉ ∈ U ( m ) , a ˉ u ˉ = u ˉ a ˉ = 1 ˉ 3. 群 ( U ( m ) , ⋅ ) 为 Z 的模 m 单位群 , 是交换群。 p 为素数时 , U ( p ) 记为 Z p ∗ Z p ∗ = { 1 ˉ , 2 ˉ , . . . , p − 1 ‾ } 4. U ( m ) 的阶为 ϕ ( m ) (欧拉函数) m = p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p s r s ( p i 为 m 的不同素因子 ) ϕ ( m ) = ( p 1 r 1 − p 1 r 1 − 1 ) ( p 2 r 2 − p 2 r 2 − 1 ) . . . ( p n r n − p n r n − 1 ) = m ∏ i = 1 s ( 1 − 1 p i ) 1.设m>1,且为正整数。 \\2.U(m)=\{\bar a \in Z_m|(a,m)=1\}关于剩余类的乘法构成群。 \\单位元是\bar 1 \\逆元是\bar u,\bar u \in U(m),即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。 \\\forall \bar a \in U(m)=>(a,m)=1 \\au+mv=1(u,v \in Z) \\(u,m)=1=>\bar u \in U(m),\bar a \bar u=\bar u \bar a=\bar 1 \\3.群(U(m),\cdot)为Z的模m单位群, 是交换群。 \\ p为素数时,U(p)记为Z^*_p \\Z^*_p=\{\bar 1,\bar 2,...,\overline {p-1}\} \\4.U(m)的阶为\phi(m)(欧拉函数) \\m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_s^{r_s}(p_i为m的不同素因子) \\\phi(m)=(p_1^{r_1}-p_1^{r_1-1})(p_2^{r_2}-p_2^{r_2-1})...(p_n^{r_n}-p_n^{r_n-1}) \\=m\prod_{i=1}^s(1-\frac 1 {p_i}) 1.m>1,且为正整数。2.U(m)={aˉZm(a,m)=1}关于剩余类的乘法构成群。单位元是1ˉ逆元是uˉ,uˉU(m),即U(m)的每个元素在U(m)中都可逆。aˉU(m)=>(a,m)=1au+mv=1(u,vZ)(u,m)=1=>uˉU(m),aˉuˉ=uˉaˉ=1ˉ3.(U(m),)Z的模m单位群,是交换群。p为素数时,U(p)记为ZpZp={1ˉ,2ˉ,...,p1}4.U(m)的阶为ϕ(m)(欧拉函数)m=p1r1p2r2...psrs(pim的不同素因子)ϕ(m)=(p1r1p1r11)(p2r2p2r21)...(pnrnpnrn1)=mi=1s1pi1)

参考文献

1.《近代代数(第三版)》

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