数学中的无穷小与物理学中的微元

flyfish

数学中的直线和物理中的线比较下就容易理解了

数学中的直线：
数学中的直线是一种理想化的抽象概念，具有无限延伸且没有厚度或宽度。
直线的定义不依赖于物理性质，仅依赖于几何性质。它是一个一维对象，只具有长度，没有宽度和高度。

物理世界中的线：
在物理世界中，任何实际存在的线（例如，一根细绳、一条光束）都具有一定的厚度或宽度。
即使是光，在某些情况下也表现出一定的宽度，尤其在波动光学中，光具有波长和干涉现象。

波动光学：在波动光学中，光被认为是一种波动现象，具有波长和频率，因此光束会展现出一定的宽度和衍射、干涉现象。
几何光学：在几何光学中，光被简化为光线，这些光线可以被认为是没有宽度的理想化线条，用于解释光的直线传播、反射和折射等现象。

古典的理解

1. 牛顿的流数法

牛顿在引入微积分时使用了流数（fluxions）和流率（fluxions rate）的概念，即变化中的量和其变化率。无穷小量在他的体系中被视为“无限小的变化量”，用来描述瞬时速度和加速度。然而，他并未给出严格的定义。
例子：导数的定义 牛顿定义函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处的导数为：
$$\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$在这个过程中，$\Delta x$ 是一个无穷小量。当$\Delta x$趋于零时，牛顿认为可以忽略$\Delta x$的高次项，如$(\Delta x{)}^2$，这在逻辑上是不严谨的。

2. 莱布尼茨的微分法

莱布尼茨引入了微分（differentials）符号，并使用无穷小量 $dx$ 和 $dy$ 表示微小变化量。他的符号系统非常直观，但同样缺乏严格的数学基础。例子：导数的计算 莱布尼茨表示函数 $y=f(x)$ 的导数为：
$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}.$在计算过程中，他将 $dx$ 视为一个非常小但不为零的量。这种处理方式虽然方便计算，但在逻辑上存在问题，因为无穷小量的具体性质不明确。

贝克莱主教对无穷小量的批评揭示了这种模糊性的根本问题。他指出，在计算导数时，数学家们一方面使用无穷小量进行计算，另一方面又在最终结果中将无穷小量视为零。
贝克莱的批评 贝克莱在他的书《分析学家》中写道：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}=\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x{)}^2-x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x.$$他质疑为什么在最终的导数计算中，$\Delta x$ 被视为零，而在其他步骤中却不是零。这种自相矛盾的处理方式是无穷小量概念模糊性的体现。

古典的理解造就了物理学中的微元

古典微积分中无穷小量的表述是模糊的，无穷小量的具体性质没有明确的定义，使得它在计算中时而被视为零，时而被视为非零。在计算过程中，无穷小量的处理方式又不一致，导致逻辑上的矛盾。缺乏严谨的数学基础。

在微积分的理论基础尚不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一种神秘的“数”，它比零大，但又比任何正数小，这在当时是难以理解的。这种神秘的“数”被用来度量各种物理量，称为“微元”。微元法使用这些无限小的“微分”来表示具体的量，例如角度、线段、面积、体积，甚至是时间、位移和功。

通过微元法，积分被视为这些“无限小过程”的累积和，用这种思想可以快速地建立新量的积分表达式。例如，在计算一个物体的总质量时，可以将其分成无数个微小的部分，每个部分的质量用微元表示，然后对这些微元进行积分，从而得到整个物体的质量。

微元法之所以广泛应用，是因为它方便实用，简便快捷，可以快速地进行计算和建立公式。在微积分的理论基础严格建立起来之前，微元法提供了一种有效的工具来解决实际问题。

举几个例子

计算变密度杆的总质量

假设我们有一根长度为 $L=10$ 米的杆，其密度 $\rho$ 随长度的变化而变化，密度分布函数为：
$\rho (x)=2x$
其中，$x$ 是从杆的一端开始的长度位置（单位：米），$\rho (x)$ 的单位是千克/米。
计算步骤：

1. 将杆分成无数个微小部分 ：
   每个微小部分的长度用 $dx$ 表示。

2. 计算每个微小部分的质量 ：
   每个微小部分的质量 $dm$ 可以表示为：
   $dm=\rho (x)\cdot dx$

3. 对整个杆进行积分 ：
   总质量 $M$ 是对从 $x=0$ 到 $x=L$ 的所有微小部分的质量进行积分：
   $M={\int }_0^L\rho (x)dx$
   将密度分布函数代入上式，我们得到：
   $M={\int }_0^{10}2xdx$
   具体计算：
   $$\begin{array}{rl}M& ={\int }_0^{10}2xdx\\ & =2{\int }_0^{10}xdx\\ & =2{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^{10}\\ & =2\left(\frac{10^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)\\ & =2\left(\frac{100}{2}\right)\\ & =2\times 50\\ & =100\text{ 千克}\end{array}$$

通过将杆分成无数个微小的部分，计算每个部分的质量并进行积分，我们得到了变密度杆的总质量为 100 千克。

计算圆盘的总质量

假设我们有一个半径为 $R=3$ 米的圆盘，密度随半径变化，密度分布函数为：
$\rho (r)=r^2$
其中 $r$ 是从圆心到圆周的半径位置（单位：米），$\rho (r)$ 的单位是千克/平方米。
计算步骤：

1. 将圆盘分成无数个微小的环 ：
   每个微小环的厚度用 $dr$ 表示，微小环的面积为 $dA=2\pi rdr$。

2. 计算每个微小环的质量 ：
   每个微小环的质量 $dm$ 可以表示为：
   $dm=\rho (r)\cdot dA=r^2\cdot 2\pi rdr=2\pi r^{3}dr$

3. 对整个圆盘进行积分 ：
   总质量 $M$ 是对从 $r=0$ 到 $r=R$ 的所有微小环的质量进行积分：
   $M={\int }_0^{R}2\pi r^{3}dr$

具体计算：
$$\begin{array}{rl}M& ={\int }_0^{3}2\pi r^{3}dr\\ & =2\pi {\int }_0^3{r}^{3}dr\\ & =2\pi {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^3\\ & =2\pi \left(\frac{3^4}{4}-\frac{0^4}{4}\right)\\ & =2\pi \left(\frac{81}{4}\right)\\ & =2\pi \times 20.25\\ & =40.5\pi \text{ 千克}\end{array}$$
通过将圆盘分成无数个微小的环，计算每个环的质量并进行积分，我们得到了变密度圆盘的总质量为 $40.5\pi$ 千克，即大约 127.23 千克（取 $\pi \approx 3.14159$）。

现代严格定义取代了模糊的概念，现代极限理论严格定义了无穷小量

随着微积分理论基础的严格建立，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现代严格定义的微分。现在的微分概念基于极限理论，确保了每一步计算的准确性和一致性。

尽管如此，在实际应用中，严格的数学叙述往往较为繁琐，因此，物理学家和工程师在使用微积分时，仍然常常采用过去的直观理解，把微元看作“无限小的过程”。这种方法在处理实际问题时非常有效，因为它简便直观，能够迅速得到结果。

1.极限理论的引入：柯西的解决方案

柯西通过引入极限理论，解决了无穷小量的模糊性问题。他给出了严格的极限定义，使得无穷小量的处理更加严谨。
柯西的极限定义 对于函数 $f(x)$，当 $x$ 趋近于 $a$ 时，如果存在一个实数 $L$，使得对于任意的 $ϵ>0$，存在一个 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有：
$|f(x)-L|<ϵ,$
则称 $L$ 是 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作：
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L.$$

2.魏尔施特拉斯（卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass） ）的定义

魏尔施特拉斯通过精确的 $ϵ$-$\delta$ 语言，明确了极限的定义。他的定义如下：极限定义 ：设 $f(x)$ 是在点 $a$ 的某个邻域上定义的函数。若对于任意的正数 $ϵ>0$，都存在一个正数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有
$|f(x)-L|<ϵ,$
则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作：
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L.$$

连续性的定义

函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续，如果
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$$

现代极限理论严格定义了无穷小量，使得它们的处理更加严谨和一致。
极限定义 ：设 $f(x)$ 是在点 $a$ 的某个邻域上定义的函数。若对于任意的正数 $ϵ>0$，都存在一个正数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有
$|f(x)-L|<ϵ,$
则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作：
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L.$$
简单理解就是无穷小量是以0为极限的变量，可以以函数、序列等形式出现。