固体物理学习笔记(持续更新

目录

  • 固体物理学(黄昆)
    • 晶格周期性的函数

固体物理学(黄昆)

晶格周期性的函数

记晶格基矢 a 1 , a 2 , a 3 a_1, a_2, a_3 a1,a2,a3和倒格矢 b 1 , b 2 , b 3 b_1,b_2,b_3 b1,b2,b3。一个具有晶格周期性的函数可以定义为:
V : R 3 → C x ↦ V ( x ) \begin{aligned} \mathcal{V}: &\mathbb{R}^3 &\to &\mathbb{C} \\ &x &\mapsto&V(x) \end{aligned} V:R3xCV(x)
其中, V ∈ V V\in\mathcal{V} VV满足下式:
V ( x ) = V ( x + l 1 a 1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 ) , l 1 , l 2 , l 3 ∈ Z V(x) = V(x + l_1a_1 + l_2a_2 + l_3a_3), l_1,l_2,l_3 \in \mathbb{Z} V(x)=V(x+l1a1+l2a2+l3a3),l1,l2,l3Z
若记 x = ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3 x=\xi_1a_1+\xi_2a_2+\xi_3a_3 x=ξ1a1+ξ2a2+ξ3a3和函数
W : R 3 → C ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) ↦ W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) \begin{aligned} \mathcal{W}: &\mathbb{R}^3 &\to &\mathbb{C} \\ &(\xi_1,\xi_2,\xi_3) &\mapsto&W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) \end{aligned} W:R3(ξ1,ξ2,ξ3)CW(ξ1,ξ2,ξ3)
则, ∀ V ∈ V , ∃ W ∈ W \forall V\in\mathcal{V}, \exists W\in \mathcal{W} VV,WW,使得:
W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = V ( ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3 ) = V ( x ) W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) = V(\xi_1a_1+\xi_2a_2+\xi_3a_3) = V(x) W(ξ1,ξ2,ξ3)=V(ξ1a1+ξ2a2+ξ3a3)=V(x)
其中, W W W满足周期性:
W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = W ( ξ 1 + l 1 , ξ 2 + l 2 , ξ 3 + l 3 ) , l 1 , l 2 , l 3 ∈ Z W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) = W(\xi_1+l_1,\xi_2+l_2,\xi_3+l_3) , l_1,l_2,l_3 \in \mathbb{Z} W(ξ1,ξ2,ξ3)=W(ξ1+l1,ξ2+l2,ξ3+l3),l1,l2,l3Z
W W W展开成傅里叶级数:
W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ∑ h 1 , h 2 , h 3 ∈ Z 0 → ∞ w h 1 , h 2 , h 3 e 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) = \sum_{h_1,h_2,h_3 \in\mathbb{Z}}^{0\to\infty} w_{h_1,h_2,h_3} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)} W(ξ1,ξ2,ξ3)=h1,h2,h3Z0wh1,h2,h3e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3)
如何求取傅里叶展开的系数,书中是直接给了答案,但是我对于傅里叶相关的知识已经忘差不多了,只好重新推导一下:
对于 w 0 , 0 , 0 w_{0, 0, 0} w0,0,0的情况,比较简单,两边同时在区间 [ 0 , 1 ) 3 [0,1)^3 [0,1)3上积分:
∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = ∑ h 1 , h 2 , h 3 ∈ Z 0 → ∞ w h 1 , h 2 , h 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 e 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = w 0 , 0 , 0 \begin{aligned} \int_{0}^1\int_{0}^1\int_{0}^1 W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) \mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 &= \sum_{h_1,h_2,h_3 \in\mathbb{Z}}^{0\to\infty} w_{h_1,h_2,h_3} \int_{0}^1\int_{0}^1\int_{0}^1 \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)} \mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 \\ &= w_{0, 0, 0} \end{aligned} 010101W(ξ1,ξ2,ξ3)dξ1dξ2dξ3=h1,h2,h3Z0wh1,h2,h3010101e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3)dξ1dξ2dξ3=w0,0,0
对于其他情况,我们先验证基的正交性。设函数:
F : R 3 → C ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) ↦ f h 1 , h 2 , h 3 ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = e 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) , h 1 , h 2 , h 3 ∈ Z \begin{aligned} \mathcal{F}:&\mathbb{R}^3&\to&\mathbb{C} \\ &(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&\mapsto&f_{h_1,h_2,h_3}(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(h_1\xi_1+h_2\xi_2+h_3\xi_3)}, h_1,h_2,h_3 \in\mathbb{Z} \end{aligned} F:R3(ξ1,ξ2,ξ3)Cfh1,h2,h3(ξ1,ξ2,ξ3)=e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3),h1,h2,h3Z
f i 1 , i 2 , i 3 , f j 1 , j 2 , j 3 ∈ F f_{i_1,i_2,i_3},f_{j_1,j_2,j_3}\in\mathcal{F} fi1,i2,i3,fj1,j2,j3F,有:
< f i 1 , i 2 , i 3 , f j 1 , j 2 , j 3 > = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( f i 1 , i 2 , i 3 ) ∗ f j 1 , j 2 , j 3 d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( e 2 π i ( i 1 ξ 1 + i 2 ξ 2 + i 3 ξ 3 ) ) ∗ e 2 π i ( j 1 ξ 1 + j 2 ξ 2 + j 3 ξ 3 ) d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 e 2 π i ( ( j 1 − i 1 ) ξ 1 + ( j 2 − i 2 ) ξ 2 + ( j 3 − i 3 ) ξ 3 ) d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = ∫ 0 1 e 2 π i ( j 1 − i 1 ) ξ 1 d ξ 1 ∫ 0 1 e 2 π i ( j 2 − i 2 ) ξ 2 d ξ 2 ∫ 0 1 e 2 π i ( j 3 − i 3 ) ξ 3 d ξ 3 = { 0 ( i 1 , i 2 , i 3 ) ≠ ( j 1 , j 2 , j 3 ) 1 ( i 1 , i 2 , i 3 ) = ( j 1 , j 2 , j 3 ) \begin{aligned} <f_{i_1,i_2,i_3},f_{j_1,j_2,j_3}> &= \int_0^1\int_0^1\int_0^1\left(f_{i_1,i_2,i_3}\right)^*f_{j_1,j_2,j_3} \mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 \\ &=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\left(\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(i_1\xi_1+i_2\xi_2+i_3\xi_3)}\right)^*\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(j_1\xi_1+j_2\xi_2+j_3\xi_3)}\mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 \\ &= \int_0^1\int_0^1\int_0^1\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\left((j_1-i_1)\xi_1+(j_2-i_2)\xi_2+(j_3-i_3)\xi_3\right)}\mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 \\ &= \int_0^1\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(j_1-i_1)\xi_1}\mathrm{d}\xi_1 \int_0^1\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(j_2-i_2)\xi_2}\mathrm{d}\xi_2 \int_0^1\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(j_3-i_3)\xi_3}\mathrm{d}\xi_3 \\ &= \left\{\begin{aligned} &0 \,\,\,& (i_1,i_2,i_3)\neq (j_1,j_2,j_3)\\ &1 & (i_1,i_2,i_3) = (j_1,j_2,j_3) \end{aligned}\right. \end{aligned} <fi1,i2,i3,fj1,j2,j3>=010101(fi1,i2,i3)fj1,j2,j3dξ1dξ2dξ3=010101(e2πi(i1ξ1+i2ξ2+i3ξ3))e2πi(j1ξ1+j2ξ2+j3ξ3)dξ1dξ2dξ3=010101e2πi((j1i1)ξ1+(j2i2)ξ2+(j3i3)ξ3)dξ1dξ2dξ3=01e2πi(j1i1)ξ1dξ101e2πi(j2i2)ξ2dξ201e2πi(j3i3)ξ3dξ3={01(i1,i2,i3)=(j1,j2,j3)(i1,i2,i3)=(j1,j2,j3)
因此,取基 e 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)} e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3) W W W的内积有:
< e 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) , W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) > = ∑ i 1 , i 2 , i 3 ∈ Z 0 → ∞ < e − 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) , w i 1 , i 2 , i 3 e 2 π i ( i 1 ξ 1 + i 2 ξ 2 + i 3 ξ 3 ) > = w h 1 , h 2 , h 3 \begin{aligned} <\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)}, W(\xi_1,\xi_2,\xi_3)> &= \sum_{i_1,i_2,i_3 \in\mathbb{Z}}^{0\to\infty} < \mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)},w_{i_1,i_2,i_3} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (i_1\xi_1 + i_2\xi_2+i_3\xi_3)}> \\ &= w_{h_1,h_2,h_3} \end{aligned} <e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3),W(ξ1,ξ2,ξ3)>=i1,i2,i3Z0<e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3),wi1,i2,i3e2πi(i1ξ1+i2ξ2+i3ξ3)>=wh1,h2,h3
即,系数可由下式求得:
w h 1 , h 2 , h 3 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 e − 2 π i ( h 1 ξ 1 + h 2 ξ 2 + h 3 ξ 3 ) W ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 w_{h_1,h_2,h_3} =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} (h_1\xi_1 + h_2\xi_2+h_3\xi_3)}W(\xi_1,\xi_2,\xi_3) \mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 wh1,h2,h3=010101e2πi(h1ξ1+h2ξ2+h3ξ3)W(ξ1,ξ2,ξ3)dξ1dξ2dξ3
接下来进行换元,对 ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) (\xi_1,\xi_2,\xi_3) (ξ1,ξ2,ξ3)的积分域 [ 0 , 1 ) 3 [0,1)^3 [0,1)3,换为:
D = { x ∈ R 3 ∣ x = ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3 , ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) ∈ [ 0 , 1 ) 3 } D = \left\{x\in\mathbb{R}^3 | x=\xi_1a_1+\xi_2a_2+\xi_3a_3, (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\in[0,1)^3\right\} D={xR3x=ξ1a1+ξ2a2+ξ3a3,(ξ1,ξ2,ξ3)[0,1)3}
则有:
d x = ∣ a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) ∣ d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 \mathrm{d}x = |a_1 \cdot (a_2 \times a_3)| \mathrm{d}\xi_1 \mathrm{d}\xi_2 \mathrm{d}\xi_3 dx=a1(a2×a3)dξ1dξ2dξ3
结合倒格矢,可以将傅里叶展开及其系数重新写为以 x x x为变量的形式:
V ( x ) = ∑ h 1 , h 2 , h 3 ∈ Z 0 → ∞ v h 1 , h 2 , h 3 e 2 π i ( h 1 b 1 ⋅ x + h 2 b 2 ⋅ x + h 3 b 3 ⋅ x ) = ∑ h 1 , h 2 , h 3 ∈ Z 0 → ∞ v h 1 , h 2 , h 3 e 2 π i ( h 1 b 1 + h 2 b 2 + h 3 b 3 ) ⋅ x \begin{aligned} V(x) &= \sum_{h_1,h_2,h_3 \in\mathbb{Z}}^{0\to\infty} v_{h_1,h_2,h_3} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1b_1\cdot x + h_2b_2\cdot x+h_3b_3\cdot x)} \\ &= \sum_{h_1,h_2,h_3 \in\mathbb{Z}}^{0\to\infty} v_{h_1,h_2,h_3} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} (h_1b_1 + h_2b_2+h_3b_3)\cdot x} \end{aligned} V(x)=h1,h2,h3Z0vh1,h2,h3e2πi(h1b1x+h2b2x+h3b3x)=h1,h2,h3Z0vh1,h2,h3e2πi(h1b1+h2b2+h3b3)x
系数:
v h 1 , h 2 , h 3 = ∫ D e − 2 π i ( h 1 b 1 + h 2 b 2 + h 3 b 3 ) ⋅ x V ( x ) d x v_{h_1,h_2,h_3} =\int_D \mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} (h_1b_1 + h_2b_2+h_3b_3)\cdot x}V(x) \mathrm{d}x vh1,h2,h3=De2πi(h1b1+h2b2+h3b3)xV(x)dx

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/bicheng/45064.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

【LeetCode】面试题 16.21. 交换和

质量还不错的一道题&#xff0c;适合用于考察二分法。 1. 题目 2. 分析 求出两个数组的总和&#xff0c;我们令总和少的为less&#xff0c;总和多的为more&#xff1b;如果两个数组的总和是奇数&#xff0c;那么怎么都配不平&#xff0c;直接返回false&#xff1b;如果两个数…

生物环保技术在哪些场景中有优势呢

生物环保技术在多个场景中展现出显著的优势&#xff0c;这些优势主要源于其绿色环保、高效节能、可持续发展等特性。以下是生物环保技术在不同场景中的优势分析&#xff1a; 一、污水处理 高效降解有机物&#xff1a;生物环保技术利用微生物的代谢功能&#xff0c;能够高效地…

OWASP ZAP

OWASP ZAP简介 开放式Web应用程序安全项目&#xff08;OWASP&#xff0c;Open Web Application Security Project&#xff09;是一个组织&#xff0c;它提供有关计算机和互联网应用程序的公正、实际、有成本效益的信息。ZAP则是OWASP里的工具类项目&#xff0c;也是旗舰项目&a…

VBA 批量发送邮件

1. 布局 2. 代码 前期绑定的话&#xff0c;需要勾选 Microsoft Outlook 16.0 Object Library Option ExplicitConst SEND_Y As String "Yes" Const SEND_N As String "No" Const SEND_SELECT_ALL As String "Select All" Const SEND_CANCEL…

Vue从零到实战第一天

&#x1f49d;&#x1f49d;&#x1f49d;欢迎来到我的博客&#xff0c;很高兴能够在这里和您见面&#xff01;希望您在这里可以感受到一份轻松愉快的氛围&#xff0c;不仅可以获得有趣的内容和知识&#xff0c;也可以畅所欲言、分享您的想法和见解。 非常期待和您一起在这个小…

【PostgreSQL】Spring boot + Mybatis-plus + PostgreSQL 处理json类型情况

Spring boot Mybatis-plus PostgreSQL 处理json类型情况 一、前言二、技术栈三、背景分析四、方案分析4.1 在PostgreSQL 数据库中直接存储 json 对象4.2 在PostgreSQL 数据库中存储 json 字符串 五、自定义类型处理器5.1 定义类型处理器5.2 使用自定义类型处理器 一、前言 在…

SpringCloud--Eureka集群

Eureka注册中心集群 为什么要集群 如果只有一个注册中心服务器&#xff0c;会存在单点故障&#xff0c;不可以高并发处理所以要集群。 如何集群 准备三个EurekaServer 相互注册&#xff0c;也就是说每个EurekaServer都需要向所有的EureakServer注册&#xff0c;包括自己 &a…

遇到NotOfficeXmlFileException

org.apache.poi.openxml4j.exceptions.NotOfficeXmlFileException: No valid entries or contents found, this is not a valid OOXML (Office Open XML) file 这个异常通常发生在你尝试使用 Apache POI 库来读取或处理一个不是有效的 Office Open XML 文件&#xff08;如 .xls…

项目管理工作分解结构(WBS)指南

在项目管理领域&#xff0c;工作分解结构&#xff08;WBS&#xff09;是一种关键的技术&#xff0c;它涉及将项目的整体可交付成果分解为更小的、更易于管理的部分。 值得注意的是&#xff0c;WBS的焦点在于可交付成果的分解&#xff0c;而非工作任务的细分。这种方法在项目管…

漏洞扫描器之XRAY的安装及破解

XRAY简介 xray 是一款功能强大的安全评估工具&#xff0c;由多名经验丰富的一线安全从业者呕心打造而成&#xff0c;主要特性有&#xff1a; 检测速度快&#xff1a;发包速度快 ; 漏洞检测算法高效。 支持范围广&#xff1a;大至 OWASP Top 10 通用漏洞检测&#xff0c;小至…

无人直播/ai自动直播-APP源码开发

无人直播APP的源码开发通常涉及到几个关键技术和组件&#xff1a; 实时流媒体处理&#xff1a;使用WebRTC&#xff08;Web Real-Time Communication&#xff09;技术&#xff0c;它允许在浏览器或移动端实现实时音视频通信。开发者需要理解和集成相关的SDK&#xff0c;如Agora、…

从0到1搭建数据中台(3):flinkcdc实现数据从mysql到doris

参考&#xff1a; 大数据Doris&#xff08;一&#xff09;&#xff1a;Doris概述篇 大数据Doris&#xff08;二&#xff09;&#xff1a;Doris原理篇 Doris实战-结合Flink构建极速易用的实时数仓 基于 Flink Doris 体验实时数仓建设 Doris简介、部署、功能介绍以及架构设…

【c++刷题笔记-动态规划】day34:01背包问题 二维 、 01背包问题 一维 、416. 分割等和子集

46. 携带研究材料&#xff08;第六期模拟笔试&#xff09; (kamacoder.com) 思路&#xff1a;背包dp 重点&#xff1a;确定dp数组&#xff0c;背包容量最大值&#xff0c;获取的价值最大 二维 #include <bits/stdc.h> using namespace std;int n, bagweight;// bagwe…

接口测试框架基于模板自动生成测试用例!

引言 在接口自动化测试中&#xff0c;生成高质量、易维护的测试用例是一个重要挑战。基于模板自动生成测试用例&#xff0c;可以有效减少手工编写测试用例的工作量&#xff0c;提高测试的效率和准确性。 自动生成测试用例的原理 为了实现测试用例数据和测试用例代码的解耦&a…

[激光原理与应用-109]:南京科耐激光-激光焊接-焊中检测-智能制程监测系统IPM介绍 - 12 - 焊接工艺之影响焊接效果的因素

目录 一、影响激光焊接效果的因素 1.1、光束特征 1.2、焊接特征 1.3、保护气体 二、材料对焊接的影响 2.1 材料特征 2.2 不同材料对激光的吸收率 &#xff08;一&#xff09;、不同金属材料对不同激光的吸收率 1. 金属材料对激光的普遍反应 2. 不同波长激光的吸收率差…

React Hooks学习笔记

一、usestate的使用方法-初始化state函数 import React, { useState } from "react"; function App() {const [count, setCount] useState(0);return (<div><p>点击{count}次</p><button onClick{() > setCount(count 1)}>点击</bu…

搭建discuz论坛(lvs+nginx+http+mysql+nfs)8台服务器

搭建discuz论坛&#xff08;lvsnginxhttpmysqlnfs&#xff09; 一、IP规划 服务名IP地址服务LVS1192.168.100.110keepalivedipvsadmLVS2192.168.100.111keepalivedipvsadmnginx1192.168.100.113nginxnginx2192.168.100.114nginxnfs192.168.100.116nfs-utilweb1192.168.100.11…

为何现在大屏的UI设计和前端开发项目已经多到咱们快忙不过来了?

**为何现在大屏的UI设计和前端开发项目已经多到咱们快忙不过来了&#xff1f;** **一、引言** 随着科技的进步和消费者需求的不断升级&#xff0c;大屏设备&#xff08;如智能电视、车载屏幕、拼接屏等&#xff09;在各行各业中的应用越来越广泛。这导致了大屏UI设计和前端开…

四步教你实现一个前端的动态实时时间(可自定义时间格式)

前言&#xff1a;我是在Vue中做的 1、将你的实时时间放在一个合适的位置 <div style"position: relative; padding-top: 0px; margin-top: -5px"><div style"position: absolute; left: auto; color: black; background-color: #7fd584; font-size: 3…

欧科云链研究院:坎昆升级后,Layer2变得更好了吗?

本文由欧科云链研究院OKG Research联合PANews出品&#xff1a;以数据为导向&#xff0c;洞察真实的链上世界。 作者&#xff5c;Jason Jiang, OKG Research 坎昆升级后&#xff0c;以太坊L2的交易费用降低明显且吞吐量有所提升&#xff0c;但整体生态并没有迎来想象中的繁荣景…