CDF累积分布函数和PPF百分点位分布函数

目录

  • cdf
      • 累积分布函数 (CDF)
  • ppf
      • 百分位点函数 (PPF)
  • 区别与联系
      • 示例
      • 关系和区别

cdf

累积分布函数 (CDF)

定义

  • 累积分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 给出随机变量 X X X 小于或等于某个值 x x x 的概率。
  • 数学定义: F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x) = P(X \leq x) F(x)=P(Xx)

性质

  1. 非递减性:累积分布函数是单调非递减的。
  2. 值域:CDF 的值域是 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1]
  3. 边界条件
    • lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 limxF(x)=0
    • lim ⁡ x → ∞ F ( x ) = 1 \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 limxF(x)=1
  4. 右连续性:CDF 是右连续的。

用途

  • 用于计算某个值以下的累积概率。
  • 用于绘制分布的累积分布图。

ppf

百分位点函数 (PPF)

定义

  • 百分位点函数(也称逆累积分布函数或量函数) F − 1 ( p ) F^{-1}(p) F1(p)给出累积分布函数值为 p p p 时对应的随机变量 X X X 的值。
  • 数学定义: F − 1 ( p ) = inf ⁡ { x ∈ R : F ( x ) ≥ p } F^{-1}(p) = \inf \{ x \in \mathbb{R} : F(x) \ge p \} F1(p)=inf{xR:F(x)p}

性质

  1. 单调性:PPF 是单调非减的。
  2. 值域:PPF 的值域是随机变量的取值范围。
  3. 边界条件
    • F − 1 ( 0 ) = inf ⁡ { x ∈ R } F^{-1}(0) = \inf \{ x \in \mathbb{R} \} F1(0)=inf{xR}
    • F − 1 ( 1 ) = sup ⁡ { x ∈ R } F^{-1}(1) = \sup \{ x \in \mathbb{R} \} F1(1)=sup{xR}

用途

  • 用于根据给定的概率计算对应的随机变量值。
  • 用于从给定分布中生成随机样本。

区别与联系

累积分布函数(CDF)和百分位点函数(PPF)是概率论和统计学中两个重要的函数,它们之间有着密切的关系,但用途和计算方式不同。

示例

我们可以通过一个具体的示例来展示 CDF 和 PPF 的关系。
在这里插入图片描述

以下是使用 scipy 库计算正态分布的 CDF 和 PPF 的示例代码:

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt# 设置正态分布的参数
mu, sigma = 0, 1# 生成数据点
x = np.linspace(-3, 3, 1000)
p = np.linspace(0, 1, 1000)# 计算正态分布的 CDF
cdf = stats.norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma)# 计算正态分布的 PPF
ppf = stats.norm.ppf(p, loc=mu, scale=sigma)# 绘制 CDF 和 PPF 图像
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))# 绘制 CDF
ax1.plot(x, cdf, label='CDF')
ax1.set_title('Cumulative Distribution Function (CDF)')
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('Probability')
ax1.grid()
ax1.legend()# 绘制 PPF
ax2.plot(p, ppf, label='PPF', color='r')
ax2.set_title('Percent Point Function (PPF)')
ax2.set_xlabel('Probability')
ax2.set_ylabel('x')
ax2.grid()
ax2.legend()plt.tight_layout()
plt.show()

关系和区别

  1. 计算方向

    • CDF 从值到概率:给定一个值 x x x,计算 P ( X ≤ x ) P(X \leq x) P(Xx)
    • PPF 从概率到值:给定一个概率 p p p,计算满足 P ( X ≤ x ) = p P(X \leq x) = p P(Xx)=p 的值 x x x
  2. 用途

    • CDF 用于计算累积概率,用于统计推断和概率计算。
    • PPF 用于计算分位点,用于生成随机样本和概率反推。
  3. 关系

    • PPF 是 CDF 的逆函数: F − 1 ( F ( x ) ) = x F^{-1}(F(x)) = x F1(F(x))=x F ( F − 1 ( p ) ) = p F(F^{-1}(p)) = p F(F1(p))=p

通过理解 CDF 和 PPF 的定义、性质和用途,可以更好地进行概率分布的分析和应用。

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