计算机的错误计算（二十五）

摘要介绍（不）停机问题。给了一个算式，当计算机的输出为0时，一般需要提高计算精度继续计算，一直到获得非0值或有效数字。但是，由于事先不清楚算式的准确值是否为0或不为0，因此往往陷入两难境地：如果一直是0，则不知该继续计算还是不计算？若继续计算，万一准确值是0，那么就是无用的计算了；若不计算，那万一准确值不是0，那岂不是没计算出准确值吗？所以，当输出一直是0时，究竟该停机还是不停机？

给定一个算式。假设在某个精度下，计算机的输出为0. 从计算机的错误计算（二十一）中知，真实值也许不为0. 对此情形，给出一种解决方案：不停增加计算精度直到出现非0结果。

那么问题来了：计算精度要到多少？只是不停增大吗？如果真的为0，那不是一直也计算不出来？那就停机不用计算了？计算还是不计算呢？停机还是不停机呢？这就是（不）停机问题。

比如，在计算机的错误计算（二十四）中，当有效位数从默认的10位，到13位，再到15位，计算机的输出均是0. 3次计算均为0，您还会增加精度进行计算吗？也许还会。然后第4次计算：增加到16位，可是结果仍然是0. 这时，怎么办？很大概率，您想，肯定是0了。我不计算了。这样就错了。只要再计算一次，就是非0结果了。

人类的数值计算模式就是固定位数的计算模式（请参考计算机的错误计算（十二））。在计算前，总是假设一个位数，然后所有中间计算与最终结果均保留该位数位数字。对于结果为0的算式的计算，实在是一个挑战。你不知道该不该继续计算。若不停计算，而算式真的为0呢？若到某一个精度不计算了，也许算式真的不为0？不管哪种情形，您的决定均是错的。前者称为遇到不停机问题；后者称为停机问题。总之，不知该停机还是不停机。

再看一个简单案例。已知

$a=123456+0.1^{2000}-123456,\\ b=123456-123456.$ .

首先，计算机既不知道它们的关系，也不会预先知道它们的正确结果。其次，若有效位数小于6+2000+1=2007位，则它们的输出相同：均为0.

假设要计算 $a$ 的值。当有效位数取10，结果为0；提高计算精度，设有效位数为100，结果仍为0；再设有效位数为200，输出还是0；狠狠心，增大到1000，结果还为0. 到这时，你计算不？继续？再狠狠心，豁出去了，机器的风扇在呼呼地吹，内存几乎爆掉，提高到2000！运行24小时1分后，结果终于出现了：0. 请问，您是否崩溃了？还是舒了一口气？哦，就是0！！！定了，就是0. 不算了。这就是结果了。停机了。

过了几天，看到另外一个软件（您能举个例子吗？），在上面试了试，哎呀，原来不是0（什么心情?）. 以后遇到这种情形，我要不停地算，直到非0结果！

又过了几天，遇到一个式子，是 $b$ . 当有效位数取10，结果为0；提高计算精度，设有效位数为100，结果仍为0；再设有效位数为200，输出还为0；好吧，既然为0，我要吸取上次教训，不停地算，直到非0结果的出现。然后设置好循环迭代后，机器开启了不停计算模式：风扇在呼呼地吹，内存在不停地与硬盘交换数据，硬盘的可用空间在不停地缩小，终于到公元3000年，停机了！但是，结果还没出来。停机是因为硬盘没可用空间了。这就是不停机问题。