一、背包问题简述以及01背包解题思路
背包问题包括01背包、完全背包、多重背包等。其中基础和重点就是01背包和完全背包,所以我们现在就背包问题中的01背包和完全背包问题进行学习,使用动态规划解决背包问题。
01背包是其他背包的基础,我们首先对01背包进行学习。纯粹的01背包问题一般描述如下:有n种物品,每种物品只有一个,每个物品有自己的重量和价值,有一个最多只能放重量为m的背包,求这个背包最多能装价值为多少的物品。
我们选择二维dp数组实现。首先我们需要知道动态规划数组的含义。dp[i][j]表示[0,i]物品放入容量为j的背包中的最大价值。dp[i][j]的值的推导我们可以讨论放不放物品i,如果不放物品i则值为dp[i-1][j];如果放,则为dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]。所以递推公式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i], dp[i-1][j])。
然后找初始化什么。我们由递推公式可以知道,dp[i][j]是由dp数组左上角的值得到的,所以我们可以对第一行和第一列进行初始化为应有的值。
接着确定遍历顺序。根据推导,我们从左到右从上到下遍历即可,无论是for循环先遍历背包还是先遍历物品,都可以。
二、代码练习:携带研究材料
选取了卡码网的一道题46. 携带研究材料(第六期模拟笔试) (kamacoder.com),非常标准的经典的01背包问题。采取上面讲述的思路编写代码,即可得到如下完整代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, bag;
void solve()
{vector<int> weight(n, 0);vector<int> value(n, 0);for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; ++j) {cin >> value[j];}vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bag + 1, 0));for (int j = weight[0]; j <= bag; j++) {dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = 0; j <= bag; j++) { if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[n - 1][bag] << endl;
}int main() {while(cin >> n >> bag) {solve();}return 0;
}
三、代码练习:分割等和子集
题目为416. 分割等和子集 - 力扣(LeetCode),给你一个只包含正整数的非空数组 nums
。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包,本题为01背包。
本题如何视作01背包呢,我们把sum/2视为背包体积,商品重量和价值均为元素数值。如果背包能正好装满,则为可分割等和子集。
然后我们使用动规五部曲:
①确定dp数组含义。本题我们尝试使用一维dp数组。dp[j]含义为背包容量为j时,放进物品的最大重量。如果dp[j]==j则说明装满了。
②递推公式。dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
③初始化。dp[0]初始化为0。
④遍历顺序。因为本题使用的为一维dp数组,所以需要物品循环的for放在外层,遍历背包的for放在内层且内层循环倒序遍历。倒序遍历才能保证每个物品只添加一次(这里比较绕,可以举例子思考一下,我的理解为:因为外面循环是遍历物品,里面是遍历容量,也就是说对于不同容量是否加入这个物品观察结果,然后因为递推公式需要用到前面的结果,如果从前往后遍历则前面已经考虑过是否放改物品了后面还要放,则会导致多次放,如果从后往前,此时前面还未考虑过是否放该物品,所以不影响)。
⑤推导/打印dp数组进行观察和检查。
完整代码如下:
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}vector<int> dp(sum/2+1,0);if(sum%2 == 1) return 0;for(int i = 0; i<nums.size(); i++){for(int j = sum/2; j>=nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[sum/2]==sum/2;}
};
说明:本文为作者整理知识点用于复习巩固,参考了代码随想录的讲解,有问题可以联系作者欢迎讨论~