引言

科学和工程学基于测量和比较。因此，我们需要制定关于如何测量和比较事物的规则，并且需要实验来建立这些测量和比较的单位。

国际标准单位

1971年，第十四届国际计量大会选定了七个量作为基本量，表中列出了其中三个。

Quantity	Unit Name	Unit Symbol
Length	meter	m
Mass	kilogram	kg
Time	second	s

为了进一步方便处理非常大或非常小的测量值，我们使用下表中列出的前缀。

Factor	Prefix	Symbol
10^24	yotta	Y
10^21	zetta	Z
10^18	exa	E
10^15	peta	P
10^12	tera	T
10^9	giga	G
10^6	mega	M
10^3	kilo	k
10^2	hecto	h
10^1	deka	da
10^-1	deci	d
10^-2	centi	c
10^-3	milli	m
10^-6	micro	μ
10^-9	nano	n
10^-12	pico	p
10^-15	femto	f
10^-18	atto	a
10^-21	zepto	z
10^-24	yocto	y

例一
$$2.35\times 10^{-9}\text{s}=2.35\text{nanoseconds}=2.35\text{ns}$$

单位转化

在转换中，单位遵循与变量和数字相同的代数规则。简单来说就是可以使用约分操作。

例二 已知 $1\text{min}=60\text{s}$，也就是
$$\frac{1\text{min}}{60\text{s}}=1\text{and}\frac{60\text{s}}{1\text{min}}=1.$$
将$2\text{min}$转换为秒。
解：
$$2\text{min}=(2\text{min})(1)=(2\text{min})\left(\frac{60\text{s}}{1\text{min}}\right)=120\text{s}.$$

标准长度的测量方式

最新的标准，将米定义为：光在真空中1/299,792,458秒内行进的距离。这一定义利用了光速的恒定性和可测量性。

测量方法：使用激光干涉仪和原子钟来测量。

1. 激光干涉仪：
   • 使用高精度激光：激光器发出的光具有极高的相干性和稳定性，适合用于精确测量。
   • 干涉测量：通过干涉仪测量光波的波长和干涉条纹的移动，可以精确确定光在特定时间间隔内行进的距离。
2. 原子钟：
   • 高精度计时：原子钟利用原子振动的稳定频率提供极高精度的时间测量。通过原子钟，可以精确测量1/299,792,458秒这一时间间隔。
   • 时间和距离的关系：利用原子钟提供的精确时间，可以计算出光在这一时间内行进的距离。

由上可知，光在真空中的速度为：
$$c=299792458\text{m/s}$$

有效数字和小数位数

有效数字（Significant Figures）

定义：
有效数字是一个数字中有意义的数字，用于表示测量的精度。它们包括从第一个非零数字到最后一个非零数字之间的所有数字，包括零。

举例：

• 123.45 有五个有效数字（1、2、3、4、5）。
• 0.00123 有三个有效数字（1、2、3），前面的零不算有效数字。
• 1000 可能只有一个有效数字（1），但如果写作1000.，则表示有四个有效数字（1、0、0、0）。

四舍五入规则：

• 当需要舍弃的位数的第一个数字是5或更大时，前一位数字进1。
• 当需要舍弃的位数的第一个数字小于5时，前一位数字保持不变。

小数位数（Decimal Places）

定义：
小数位数是指小数点后面的数字的数量。这些数字用于表示测量的精度，但与有效数字不同，它们不考虑整体数字的长度，只考虑小数部分。

举例：

• 0.123 有三位小数（1、2、3）。
• 3.14159 有五位小数（1、4、1、5、9）。
• 2.0 有一位小数（0）。

练习

1. 世界上最大绳球的半径为2m。请问球中绳子的总长度$L$是多少（四舍五入到最接近的数量级）？

解：
因为球中绳子不是紧密堆积的，为了考虑这些间隙，让我们稍微高估一下绳子的横截面积，假设横截面是边长为$d=4$毫米的正方形。那么绳子占到总体积为：
$$V=(\text{cross-sectional area})(\text{length})=d^{2}L.$$
球的体积公式为$\frac{4}{3}\pi R^3$，$\pi$大约为$3$，因此我们有：
$$\begin{array}{rl}{d}^{2}L=4R^3,& \\ \text{or}L=\frac{4R^3}{d^2}& =\frac{4(2\text{m}{)}^3}{(4\times 10^{-3}\text{m}{)}^2}\\ & =2\times 10^6\text{m}\approx 10^6\text{m}=10^3\text{km}.\end{array}$$

$$1\text{km}=1000\text{m}$$