含匹配扰动的多智能体领航跟随一致性Matlab仿真

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前言
一、问题描述
二、基于LQR的观测器和控制器设计
1.观测器设计
2.控制器设计

三、数值仿真
四、参考文献
总结

前言

本文探讨了带有匹配扰动的多智能体领航跟随一致性控制方法，并提供了相应的Matlab仿真代码。

具体的设计步骤如下：

将匹配扰动看为系统的扩张状态，设计扩张状态观测器，估计扰动的大小；
基于邻居节点间的状态误差设计控制器，并更具扰动估计值，在控制器中补偿扰动；
使用使用线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）对控制器增益和观测器增益进行了优化设计。

本文所涉及到的关于图论和LQR的基础知识可参考如下博客：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/373435683
https://zhuanlan.zhihu.com/p/139145957
https://blog.csdn.net/qq_24649627/article/details/104690279

一、问题描述

多智能体系统由一个领航者和 $N$ 个含有匹配扰动跟随者组成。跟随者动力学模型为：
$\begin{array}{l} {{\dot x}_i} = A{x_i} + B({u_i} + {d_i})\\ {y_i} = C{x_i} \end{array}$
式中， $i = 1, 2, ..., N$ ， $x_i$ 、 $u_i$ 、 $d_i$ 和 $y_i$ 分别是跟随者的状态、控制输入、匹配扰动和系统输出。

领导者动力学模型为：
$\begin{array}{c} {{\dot x}_0} = A{x_0}\\ {y_0} = C{x_0} \end{array}$
式中， $x_0$ 和 $y_0$ 分别为领航者的状态和系统输出。

二、基于LQR的观测器和控制器设计

1.观测器设计

将扰动 $d_i$ 看为跟随者的状态，则模型(1)可重构为：
$\begin{array}{c} {{\dot{\bar x}_i} } = \bar A{{\bar x}_i} + \bar B{u_i} + E{p_i}\\ {y_i} = \bar C{{\bar x}_i} \end{array}$
式中， $\bar{x}_i=\left[ x_i \quad d_i \right]^{\rm{T}}$ ， $p_i=\dot{d}_i$ ， $\bar{A}=\left[ \begin{matrix} A & B \\ \textbf{0} & \textbf{0} \end{matrix} \right]$ ， $\bar{B}=\left[ B \quad \textbf{0} \right]^{\rm{T}}$ ， $\bar{C}=\left[ C \quad \textbf{0} \right]$ ，其中 $\textbf{0}$ 是适度维度的零矩阵。
假设模型(3)中 $(\bar{A},\bar{C})$ 是可观的，可设计一个龙伯格扩张状态观测器为：
$\dot{\hat{\bar{x}}}_i = \bar A{\hat{\bar x} }_i + \bar B{u_i} + G({y_i} - \bar C{\hat{\bar x} }_i)$
式中， $\hat{\bar{x}}_i=$ 是对 $\bar{x}_i$ 的估计， $G$ 是观测器增益矩阵。

增益 $G$ 常采用极点配置法求取，但理想的期望极点很难确定，且该方法无法通过误差和控制输入的优化来选取增益G，因此，可以使用LQR的方法设计 $G$ ，具体设计方法参考文献【1】。

2.控制器设计

第 $i$ 个跟随者节点与其邻居节点之间的状态误差定义为：
${\xi _i} = \sum\nolimits_{j \in {N_i}} {(({a_{ij}}(\hat{{ x}}_i - {\hat{ x}_j}) + {b_i}({\hat{ x}_i} - {x_0}))}$
式中， $N_i$ 表示 $i$ 节点邻居节点的集合； $j$ 节点对 $i$ 节点有信息传递时， $a_{ij}=1$ ，否则 $a_{ij}=0$ ；领航者对 $i$ 节点有信息传递时， $b_i=0$ ，否则 $b_i=0$ 。

假设模型(2)中(A,B)是可控的，根据扩张状态观测器得到的扰动估计值，可设计带扰动补偿的控制器为：
${u_i} = K{\xi _i} - {\hat d_i}$
式中， $K=-\tau{K_a}$ ，其中 $\tau$ 是一个与多智能体通讯拓扑结构相关的参数， $K_a$ 为控制器增益矩阵。

为了提高控制器的性能，同样可以使用LQR方法设计控制器增益 $K_a$ ，具体设计方法参考文献【2】。
关于控制器和观测器的稳定性，感兴趣的读者可以自行证明。

三、数值仿真

考虑一个二阶领航跟随多智能体系统有1个领航者和4个跟随者，状态 $x_i=\left[ x_{1,i} \quad x_{2,i} \right]^{\rm{T}}$ ，系统矩阵 $A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right]$ ， $B=\left[ 0 \quad 1 \right]^{\rm{T}}$ ， $\bar{C}=\left[ 1 \quad 0 \right]$ 。领航跟随多智能体系统通讯拓扑图为：
在这里插入图片描述
设置外部扰动为：
${d_i} = {\alpha _i}t + {\beta _i}{e^{{\chi _i}t}}\sin t + {\gamma _i}{\rm{ }}i = 1,2 \cdots 8$
式中，扰动参数 $\alpha = \left[ 0.001 \quad -0.001 \quad 0.002 \quad 0.001 \right]^{\rm{T}}$ ， $\beta= \left[ 1 \quad 1.5 \quad 2 \quad 2.5 \right]^{\rm{T}}$ ， $\chi= \left[ -0.3 \quad -0.3 \quad -0.5 \quad 0.3 \right]^{\rm{T}}$ ， $\gamma= \left[ 1 \quad 2 \quad -1 \quad 5 \right]^{\rm{T}}$
设置跟随者初始状态：
$\begin{align*} x_{1}(0) &= \left[ 2 \quad 0 \quad 4 \quad 0 \right]^{\rm{T}} \\ x_{2}(0) &= \left[ -1 \quad 0 \quad -1 \quad 1 \right]^{\rm{T}} \end{align*}$
设置领航初始状态与运动轨迹为：
$\begin{align*} x_{1,0}(0) &= 2 \\ x_{2,0}(0) &= 0 \\ \dot{x}_{2,0}(t)=0.2\cos (0.15t) \end{align*}$
Matlab仿真代码如下所示：

clear
clc%% 预先设置
global L F K G A B A_bar B_bar D_Mar
%系统矩阵
A = [0 1; 0 0];
B = [0; 1];
C = [1 0];
A_bar = [A B; 0 0 0];
B_bar = [B; 0];
C_bar = [C 0];%系统通讯拓扑图
L = [2 -1  0 -1-1  2 -1  00 -1  2 -1-1  0 -1  2];% 拉普拉斯矩阵F= diag([1  0  0  0]); % 牵引矩阵%观测器Riccati方程
Qa = diag([15 15 15]);Ra = 0.1;
%控制器Riccati方程
Qb = diag([10 10]);Rb = 0.6;% LQR方法求解观测器增益
[G,Pa] = lqr(A_bar', C_bar', Qa, Ra); 
G = G';% LQR方法求解控制器增益
[Ka,Pb] = lqr(A, B, Qb, Rb);
tau = 1/(2*min(eig(L+F)));
K = -tau*Ka;%扰动参数矩阵
D_Mar = [ 0.001 -0.001 0.002 0.0011 1.5 2 2.5-0.3 -0.3 -0.5 -0.31  2 -1  5];% 多智能体初始状态设置
X1l = 2;
X2l = 0;
X1f = [2 0 4 0];
X2f = [-1 0 -1 1];
X1hat = X1f; % 跟随者位置状态的初始估计
X2hat = X2f; % 跟随者速度状态的初始估计
Dhat = D_Mar(4,:);% 扰动的初始估计%时间设置
tBegin = 0;
tFinal = 50;
tspan = [tBegin, tFinal];%% Calculate ODE Function
In = [X1l X2l X1f X2f X1hat X2hat Dhat]';
[t, X] = ode23(@ctFun, tspan, In);%% Draw Graphs
% 提取仿真结果
X1l_sim = X(:, 1);
X2l_sim = X(:, 2);
X1f_sim = X(:, 3:6);
X2f_sim = X(:, 7:10);
X1hat_sim = X(:, 11:14);
X2hat_sim = X(:, 15:18);
Dhat_sim = X(:, 19:22);% 计算真实扰动% 绘图
% 1-1.绘制领导者与跟随者的状态X1曲线
figure;
hold on
% 定义点画线样式
line_styles = {'--', ':', '-.', '-..'};
% 循环跟随者曲线
for j = 1:4plot(t, X1f_sim(:, j), line_styles{j}, 'linewidth', 1.5);
end
% 绘制 X1l_sim 曲线
plot(t, X1l_sim, 'r-', 'linewidth', 1);
hold off
% 添加图例
legend('Agent1','Agent2','Agent3','Agent4','Leader', 'FontSize', 16);
xlabel('$t(s)$', 'Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
ylabel('$x_{1,i}$','Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
% 添加上边框和右边框
box on;
grid on;% 1-2.绘制领导者与跟随者的状态X2曲线
figure;
hold on
% 定义点画线样式
line_styles = {'--', ':', '-.', '-..'};
% 循环跟随者曲线
for j = 1:4plot(t, X2f_sim(:, j), line_styles{j}, 'linewidth', 1.5);
end
% 绘制 X2l_sim 曲线
plot(t, X2l_sim, 'r-', 'linewidth', 1);
hold off
set(gca, 'FontSize', 16); % 修改全局图的坐标数字字号为 16
% 添加图例
legend('Agent1','Agent2','Agent3','Agent4','Leader', 'FontSize', 16);
xlabel('$t(s)$', 'Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
ylabel('$x_{2,i}$','Interpreter','latex', 'FontSize', 26);
% 添加上边框和右边框
box on;
grid on;%绘制扰动与扰动观测值
% 计算真实扰动
Disturbance_true = zeros(size(Dhat_sim));
for i = 1:length(t)for j = 1:4Disturbance_true(i,j) = D_Mar(1,j)*t(i)+ D_Mar(2,j) * exp(D_Mar(3,j)*t(i))*sin (t(i)) + D_Mar(4,j);end
end% 绘制扰动估计对比
for i = 1:4figure;plot(t, Disturbance_true(:,i), 'color', 'k', 'linewidth', 1.5);hold on;plot(t, Dhat_sim(:,i), '--', 'linewidth', 1.5);hold off;% 动态生成图例文本legend(sprintf('$d_%d$', i), sprintf('$\\hat{d}_%d$', i), 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'northeast', 'FontSize', 16);set(gca, 'FontSize', 16); % 修改全局图的坐标数字字号为 16xlabel('$t(s)$', 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 26);ylabel(sprintf('$d_%d(t)$', i), 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 26);grid on;
end%% ODE Function
function dX = ctFun(t,In)global L F K G A B A_bar B_bar D_Mar% 提取状态X1l = In(1);X2l = In(2);X1f = In(3:6);X2f = In(7:10);X1hat = In(11:14);X2hat = In(15:18);Dhat = In(19:22);% 初始化Disturbance为列向量Disturbance = zeros(length(X1f), 1);% 设置外部扰动for j = 1:4Disturbance(j) = D_Mar(1,j)*t + D_Mar(2,j) * exp(D_Mar(3,j)*t)*sin(t) + D_Mar(4,j);end% 领导者动力学dX1l = X2l;dX2l = 0.2*cos(0.15*t) ;% 跟随者动力学X1_Bar = X1hat - X1l; X2_Bar = X2hat - X2l;dX1f = A(1,2)*X2f;u = K(1)*(L+F) * X1_Bar + K(2)*(L+F) * X2_Bar - Dhat;%加了扰动补偿dX2f = B(2,1)*u + B(2,1)*Disturbance;% 扩张状态观测器dX1hat = A_bar(1,2)*X2hat + G(1) * (X1f - X1hat);dX2hat = A_bar(2,3)*Dhat + B_bar(2,1)*u + G(2)*(X1f - X1hat);dDhat = G(3) * (X1f - X1hat);% output dX = [dX1l; dX2l; dX1f; dX2f; dX1hat; dX2hat; dDhat];
end