【CV炼丹师勇闯力扣训练营 Day22:§7 回溯1】

CV炼丹师勇闯力扣训练营

代码随想录算法训练营第22天


回溯法其实就是暴力查找,回溯的本质是穷举,穷举所有可能,然后选出我们想要的答案,一般可以解决如下几种问题:

  • 组合问题:N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 切割问题:一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题:一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 排列问题:N个数按一定规则全排列,有几种排列方式(组合无序,排列有序)
  • 棋盘问题:N皇后,解数独等等

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集,集合的大小就构成了树的宽度,递归的深度就构成了树的深度
for循环横向遍历,递归纵向遍历,回溯不断调整结果集。

在这里插入图片描述

回溯三部曲

S1. 回溯函数模板返回值以及参数
void backtracking(参数)

S2. 回溯函数终止条件
什么时候达到了终止条件,树中就可以看出,一般来说搜到叶子节点了,也就找到了满足条件的一条答案,把这个答案存放起来,并结束本层递归
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}

S3. 回溯搜索的遍历过程
在这里插入图片描述
for循环可以理解是横向遍历,backtracking(递归)就是纵向遍历,这样就把这棵树全遍历完了,一般来说,搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {
处理节点;
backtracking(路径,选择列表); // 递归
回溯,撤销处理结果
}

整体模板如下:

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {处理节点;backtracking(路径,选择列表); // 递归回溯,撤销处理结果}
}

77 组合

给定两个整数 n 和 k,返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例:
输入:n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
输入:n = 1, k = 1 输出:[[1]]

在这里插入图片描述

S1 确定变量和参数
def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
“”"
:param startIndex:记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历
:param path: 用来存放符合条件结果
:param result: 存放符合条件结果的集合
“”"

S2 回溯终止条件
path这个数组的大小如果达到k,说明我们找到了一个子集大小为k的组合了,在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。如图红色部分:
在这里插入图片描述
此时用result二维数组,把path保存起来,并终止本层递归。
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}

S3 单层搜索逻辑
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程,在如下图中,可以看出for循环用来横向遍历,递归的过程是纵向遍历。
for循环每次从startIndex开始遍历,然后用path保存取到的节点i。
for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1); // 递归:控制树的纵向遍历,注意下一层搜索要从i+1开始
path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
}

可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历,总会遇到叶子节点,遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了,撤销本次处理的结果。

代码如下(Python3):

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:result = []  # 存放结果集self.backtracking(n, k, 1, [], result)return resultdef backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):if len(path) == k:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, n + 1):  # 需要优化的地方path.append(i)  # 处理节点self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)path.pop()  # 回溯,撤销处理的节点

剪枝

这个遍历的范围是可以剪枝优化的,怎么优化呢?
举一个例子,n = 4,k = 4的话,那么第一层for循环的时候,从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环,从元素3开始的遍历都没有意义了。
在这里插入图片描述
图中每一个节点(图中为矩形),就代表本层的一个for循环,那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话,都没有意义,都是无效遍历。
所以,可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了,那么就没有必要搜索了。

剪枝过程
1.已经选择的元素个数:path.size();
2.所需需要的元素个数为: k - path.size();
3.列表中剩余元素(n-i) >= 所需需要的元素个数(k - path.size())
4.在集合n中至多能从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1,开始遍历

剪枝精髓:for循环在寻找起点的时候要有一个范围,如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够 题目要求的k个元素了,就没有必要搜索了。

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:result = []  # 存放结果集self.backtracking(n, k, 1, [], result)return resultdef backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):if len(path) == k:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2):  # 优化的地方path.append(i)  # 处理节点self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)path.pop()  # 回溯,撤销处理的节点

216 组合总和Ⅲ

找出所有相加之和为 nk 个数的组合,且满足下列条件:

只使用数字1到9
每个数字 最多使用一次
返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次,组合可以以任何顺序返回。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

本题k相当于树的深度,9(因为整个集合就是9个数)就是树的宽度。
在这里插入图片描述

确定参数
和77组合一样,依然需要一维数组path来存放符合条件的结果,二维数组result来存放结果集。
targetSum(int)目标和,也就是题目中的n。
k(int)就是题目中要求k个数的集合。
sum(int)为已经收集的元素的总和,也就是path里元素的总和。
startIndex(int)为下一层for循环搜索的起始位置。

确定终止条件
在上面已经说了,k其实就已经限制树的深度,因为就取k个元素,树再往下深了没有意义。
所以如果path.size() 和 k相等了,就终止。
如果此时path里收集到的元素和(sum) 和targetSum(就是题目描述的n)相同了,就用result收集当前的结果。

确定单层搜索逻辑
本题和77组合区别之一就是集合固定的就是9个数[1,…,9],所以for循环固定i<=9
处理过程就是 path收集每次选取的元素,相当于树型结构里的边,sum来统计path里元素的总和。
在这里插入图片描述

剪枝

在这里插入图片描述

代码如下(Python):

from typing import *class Solution:def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:res = []self.backtracking(n, k, 0, 1, [], res)return resdef backtracking(self, tar_sum, k, cur_sum, start_idx, path, res):if cur_sum > tar_sum:  # 剪枝操作return  # 如果path的长度等于k但currentSum不等于targetSum,则直接返回if len(path) == k:if cur_sum == tar_sum:res.append(path[:])returnfor i in range(start_idx, 9 - (k - len(path)) + 2):  # 剪枝cur_sum += i  # 处理path.append(i)  # 处理self.backtracking(tar_sum, k, cur_sum, i + 1, path, res)  # 注意i+1调整startIndexcur_sum -= i  # 回溯(别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的,处理有加,回溯就要有减!)path.pop()  # 回溯

17 电话号码的字母组合

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串,返回所有它能表示的字母组合。
给出数字到字母的映射如下(与电话按键相同)。注意 1 不对应任何字母。
在这里插入图片描述
示例 1:
输入:digits = “23”
输出:[“ad”,“ae”,“af”,“bd”,“be”,“bf”,“cd”,“ce”,“cf”]

示例 2:
输入:digits = “”
输出:[ ]

示例 3:
输入:digits = “2”
输出:[“a”,“b”,“c”]

在这里插入图片描述
遍历的深度就是输入"23"的长度,宽度就是每个数字对应字符串的长度
而叶子节点就是我们要收集的结果,输出[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”]

确定回溯函数参数
首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果,然后用一个字符串数组result保存起来,这两个变量我依然定义为全局。
再来看参数,参数指定是有题目中给的string digits,然后还要有一个参数就是int型的index。
注意这个index可不是 77组合和216组合总和Ⅲ中的startIndex了。
因为本题是多个集合求组合,这个index是记录遍历第几个数字了,就是用来遍历digits的(题目中给出数字字符串),同时index也表示树的深度。

确定终止条件
例如输入用例"23",两个数字,那么根节点往下递归两层就可以了,叶子节点就是要收集的结果集。
那么终止条件就是如果index 等于 输入的数字个数(digits.size)了(本来index就是用来遍历digits的)。
然后收集结果,结束本层递归。

确定单层遍历逻辑
首先要取index指向的数字,并找到对应的字符集(手机键盘的字符集)。
然后for循环来处理这个字符集

from typing import Listclass Solution:def __init__(self):self.letterMap = ["",  # 0"",  # 1"abc",  # 2"def",  # 3"ghi",  # 4"jkl",  # 5"mno",  # 6"pqrs",  # 7"tuv",  # 8"wxyz"  # 9]self.res = []self.s = ""def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:if len(digits) == 0:  # 数字为空直接返回空resreturn self.resself.backtracking(digits, 0)return self.resdef backtracking(self, digits, index):if index == len(digits):  # 索引等于数字个数self.res.append(self.s)returndigit = int(digits[index])  # 将索引处的数字转为整数letters = self.letterMap[digit]  # 获取对应的字符集for i in range(len(letters)):self.s += letters[i]  # 处理字符self.backtracking(digits, index + 1)  # 递归调用,注意索引加1,处理下一个数字self.s = self.s[:-1]  # 回溯,删除最后添加的元素S = Solution()
print(S.letterCombinations("23"))

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