希尔伯特基定理

【引理1】(Dickson定理)

对于 ∀ A ⊂ N n \forall A \subset \mathbb{N}^{n} ANn ∃ \exists 有限非空集 B ⊂ A B \subset A BA,使得 ⟨ x A ⟩ = ⟨ x B ⟩ \left\langle x^{A} \right\rangle = \left\langle x^{B} \right\rangle xA=xB

【证明】

下面利用数学归纳法证明:

  1. 首先当 n = 1 n = 1 n=1时成立

此时对于 ∀ A ⊂ N \forall A \subset \mathbb{N} AN,取 B = { min ⁡ ( A ) } B = \left\{ \min(A) \right\} B={min(A)},显然有 ⟨ x A ⟩ = ⟨ x B ⟩ \left\langle x^{A} \right\rangle = \left\langle x^{B} \right\rangle xA=xB,此时集 B B B有限且非空。

  1. 假定当 n ≤ k n \leq k nk时集 B ( k ) B^{(k)} B(k)有限且非空,需要证明 n = k + 1 n = k + 1 n=k+1时集 B ( k + 1 ) B^{(k + 1)} B(k+1)有限且非空

A ( k ) A^{(k)} A(k)中的元素形如 ( a 1 , a 2 … a k ) \left( a_{1},a_{2}\ldots a_{k} \right) (a1,a2ak) A ( k + 1 ) A^{(k + 1)} A(k+1)中的元素形如 ( a 1 , a 2 … a k , a k + 1 ) \left( a_{1},a_{2}\ldots a_{k},a_{k + 1} \right) (a1,a2ak,ak+1)。设 ( b ‾ 1 , b ‾ 2 … b ‾ k , b ‾ k + 1 ) ∈ A ( k + 1 ) \left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k},{\overline{b}}_{k + 1} \right) \in A^{(k + 1)} (b1,b2bk,bk+1)A(k+1),其中 b ‾ k + 1 = min ⁡ ( a k + 1 ) {\overline{b}}_{k + 1} = \min\left( a_{k + 1} \right) bk+1=min(ak+1) B ‾ ( k ) {\overline{B}}^{(k)} B(k) b ‾ k + 1 = min ⁡ ( a k + 1 ) {\overline{b}}_{k + 1} = \min\left( a_{k + 1} \right) bk+1=min(ak+1)时的有限非空集,且有 ( b ‾ 1 , b ‾ 2 … b ‾ k ) ∈ B ‾ ( k ) \left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k} \right) \in {\overline{B}}^{(k)} (b1,b2bk)B(k)。那么有 ( b ‾ 1 , b ‾ 2 … b ‾ k , b ‾ k + 1 ) ∈ B ( k + 1 ) \left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k},{\overline{b}}_{k + 1} \right) \in B^{(k + 1)} (b1,b2bk,bk+1)B(k+1),也就是 B ( k + 1 ) \mathbf{B}^{\left( \mathbf{k + 1} \right)} B(k+1)非空

由于 x B x^{B} xB中所有元素两两之间无法互相整除(若整除,只保留一个元素),对于 ∀ ( b 1 , b 2 … b k , b k + 1 ) ∈ B ( k + 1 ) \forall\left( b_{1},b_{2}\ldots b_{k},b_{k + 1} \right) \in B^{(k + 1)} (b1,b2bk,bk+1)B(k+1),在 b 1 , b 2 … b k b_{1},b_{2}\ldots b_{k} b1,b2bk中必有一些元素比 b ‾ 1 , b ‾ 2 … b ‾ k {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k} b1,b2bk的对应元素小,且 b i < b ‾ i b_{i} < {\overline{b}}_{i} bi<bi的元素对总数目一定是小于 k k k;而 b 1 , b 2 … b k , b k + 1 b_{1},b_{2}\ldots b_{k},b_{k + 1} b1,b2bk,bk+1中剩余的满足 b j ≥ b ‾ j b_{j} \geq {\overline{b}}_{j} bjbj的所有 b j b_{j} bj必然可由这些 b i b_{i} bi来确定。这是因为当 n ≤ k n \leq k nk时集 B ( k − ∗ ) B^{(k - *)} B(k−∗)有限且非空,剔除 b i b_{i} bi元素后, b j b_{j} bj必然是 B ( k − ∗ ) B^{(k - *)} B(k−∗)中的对应元素。由于 b ‾ 1 , b ‾ 2 … b ‾ k {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k} b1,b2bk是固定的,而 b i < b ‾ i b_{i} < {\overline{b}}_{i} bi<bi,所以 b i b_{i} bi的取值情况是有限的,也就是 B ( k + 1 ) \mathbf{B}^{\left( \mathbf{k + 1} \right)} B(k+1)有限。

【引理2】

F F F为一域, I I I R = F [ x 1 , x 2 … x n ] R = F\left\lbrack x_{1},x_{2}\ldots x_{n} \right\rbrack R=F[x1,x2xn]中的理想,若 G ⊂ I G \subset I GI是有限集,且 ⟨ l t ( G ) ⟩ = ⟨ l t ( I ) ⟩ \left\langle lt(G) \right\rangle = \left\langle lt(I) \right\rangle lt(G)=lt(I),则 ⟨ G ⟩ = I \left\langle G \right\rangle = I G=I

【证明】

因为 G ⊂ I G \subset I GI,显然 ⟨ G ⟩ ⊂ I \left\langle G \right\rangle \subset I GI

G = { g 1 , g 2 … g t } G = \{ g_{1},g_{2}\ldots g_{t}\} G={g1,g2gt},则 ∀ f ∈ I \forall f \in I fI,根据带余除法得

f = q 1 g 1 + … + q t g t + r f = q_{1}g_{1} + \ldots + q_{t}g_{t} + r f=q1g1++qtgt+r

那么有 l t ( r ) ∈ ⟨ l t ( I ) ⟩ ⇒ l t ( r ) ∈ ⟨ l t ( G ) ⟩ lt(r) \in \left\langle lt(I) \right\rangle \Rightarrow lt(r) \in \left\langle lt(G) \right\rangle lt(r)lt(I)lt(r)lt(G),由于 r r r是带余除法余数,即满足项序关系 l t ( r ) < l t ( g 1 ) 、 l t ( r ) < l t ( g 2 ) … l t ( r ) < l t ( g t ) lt(r) < lt\left( g_{1} \right)、lt(r) < lt\left( g_{2} \right)\ldots lt(r) < lt(g_{t}) lt(r)<lt(g1)lt(r)<lt(g2)lt(r)<lt(gt),所以 r ≡ 0 r \equiv 0 r0,从而 f ∈ I ⇒ f ∈ ⟨ G ⟩ f \in I \Rightarrow f \in \left\langle G \right\rangle fIfG,所以 I ⊂ ⟨ G ⟩ I \subset \left\langle G \right\rangle IG

综上可得 ⟨ G ⟩ = I \left\langle G \right\rangle = I G=I

【Hilbert 基定理】

F F F为一域, I I I R = F [ x 1 , x 2 … x n ] R = F\left\lbrack x_{1},x_{2}\ldots x_{n} \right\rbrack R=F[x1,x2xn]中的理想, I I I可有限生成。

【证明】

根据 【引理1】 因为单项理想 ⟨ l t ( I ) ⟩ \left\langle lt(I) \right\rangle lt(I)可以有限生成,令 G ⊂ I G \subset I GI是有限集,满足 ⟨ l t ( G ) ⟩ = ⟨ l t ( I ) ⟩ \left\langle lt(G) \right\rangle = \left\langle lt(I) \right\rangle lt(G)=lt(I)。根据 【引理2】 ⟨ G ⟩ = I \left\langle G \right\rangle = I G=I,也就是 I I I可有限生成。

【备注】

此定理表明 R = F [ x 1 , x 2 … x n ] R = F\left\lbrack x_{1},x_{2}\ldots x_{n} \right\rbrack R=F[x1,x2xn]中的理想都是诺特环,满足理想升链条件。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/bicheng/39315.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

代码随想录算法训练营第20天 | 题目: 235. 二叉搜索树的最近公共祖先 701.二叉搜索树中的插入操作 450.删除二叉搜索树中的节点

代码随想录算法训练营第20天 | 题目&#xff1a; 235. 二叉搜索树的最近公共祖先 701.二叉搜索树中的插入操作 450.删除二叉搜索树中的节点 文章来源&#xff1a;代码随想录 题目名称&#xff1a; 235. 二叉搜索树的最近公共祖先 给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的…

强对抗的SquidLoader针对中国企业发起攻击

2024 年 4 月下旬&#xff0c;研究人员观察到一些特别的钓鱼邮件附件&#xff0c;文件名为「华为工业级路由器相关产品介绍和优秀客户案例」。顺藤摸瓜发现一系列以中国企业/组织名称命名的恶意附件&#xff0c;如「中国移动集团XX分公司」、「嘉X智能科技」与「XX水利技术学院…

Centos7部署Mysql8.0超级详细教程,一看就会!

1、准备 下载 Mysql 安装包源信息,去到这个网址&#xff0c;https://dev.mysql.com/downloads/repo/yum/ 复制红色框的内容&#xff0c; 2、开始安装 # 以下所有操作建议切换到 root 用户后运行。。yum install wget -y# 将上面的复制内容粘贴到后面&#xff0c;格式&…

前端性能优化-实测

PageSpeed Insights 性能测试 今天测试网站性能的时候发现一个问题&#xff0c;一个h2标签内容为什么会占据这么长的渲染时间&#xff0c;甚至有阶段测到占据了7000多毫秒&#xff0c;使用了很多方法都不能解决&#xff0c;包括了修改标签&#xff0c;样式大小等&#xff0c;当…

在Spring Boot项目中引入本地JAR包的步骤和配置

在Spring Boot项目中&#xff0c;有时需要引入本地JAR包以便重用已有的代码库或者第三方库。本文将详细介绍如何在Spring Boot项目中引入本地JAR包的步骤和配置&#xff0c;并提供相应的代码示例。 1. 为什么需要本地JAR包 在开发过程中&#xff0c;可能会遇到以下情况需要使…

JAVA连接FastGPT实现流式请求SSE效果

FastGPT 是一个基于 LLM 大语言模型的知识库问答系统&#xff0c;提供开箱即用的数据处理、模型调用等能力。同时可以通过 Flow 可视化进行工作流编排&#xff0c;从而实现复杂的问答场景&#xff01; 一、先看效果 真正实流式请求&#xff0c;SSE效果&#xff0c;SSE解释&am…

CentOS7环境下DataX的安装、使用及问题解决

DataX概述 DataX 是阿里巴巴开源的一个异构数据源离线同步工具&#xff0c;致力于实现包括关系型数据库(MySQL、Oracle等)、HDFS、Hive、ODPS、HBase、FTP等各种异构数据源之间稳定高效的数据同步功能。 为了解决异构数据源同步问题&#xff0c;DataX将复杂的网状的同步链路变…

DNS解析过程及常见问题解决

DNS解析过程及常见问题解决 大家好&#xff0c;我是免费搭建查券返利机器人省钱赚佣金就用微赚淘客系统3.0的小编&#xff0c;也是冬天不穿秋裤&#xff0c;天冷也要风度的程序猿&#xff01; 什么是DNS解析&#xff1f; 在计算机网络中&#xff0c;DNS&#xff08;Domain N…

什么是字符串常量池?如何利用它来节省内存?

字符串常量池是Java中一个非常重要的概念&#xff0c;尤其对于理解内存管理和性能优化至关重要。想象一下&#xff0c;你正在管理一家大型图书馆&#xff0c;每天都有无数读者来借阅书籍。 如果每本书每次借阅都需要重新印刷一本&#xff0c;那么图书馆很快就会陷入混乱&#…

eclipse断点调试(用图说话)

eclipse断点调试&#xff08;用图说话&#xff09; debug方式启动项目&#xff0c;后端调试bug调试 前端代码调试&#xff0c;请参考浏览器断点调试&#xff08;用图说话&#xff09; 1、前端 选中一条数据&#xff0c;点击删除按钮 2、后端接口打断点 断点按钮 介绍 resum…

236、二叉树的最近公共祖先

前提&#xff1a; 所有 Node.val 互不相同 。p ! qp 和 q 均存在于给定的二叉树中。 代码如下&#xff1a; class Solution { public:TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {if (root q || root p || root NULL) return root;TreeN…

.NET周刊【6月第5期 2024-06-30】

国内文章 呼吁改正《上海市卫生健康信息技术应用创新白皮书》 C# 被认定为A 组件 的 错误认知 https://www.cnblogs.com/shanyou/p/18264292 近日&#xff0c;《上海市卫生健康“信息技术应用创新”白皮书》发布&#xff0c;提到医疗信创核心应用适配方法及公立医院信息系统…

书城在线系统:基于Java和SSM框架的高效信息管理平台

开头语&#xff1a;你好呀&#xff0c;我是计算机学长猫哥&#xff01;如果有相关需求&#xff0c;文末可以找到我的联系方式。 开发语言&#xff1a;Java 数据库&#xff1a;MySQL 技术&#xff1a;SSM框架&#xff08;Spring, Spring MVC, Mybatis&#xff09; 工具&…

Windows传统DOS路径有效性检测(资源篇)

需求 本篇旨在探索Windows传统DOS路径有效性检测的一种可行方案&#xff0c;实际上许多Windows文件IO相关的API也同样可以作为一种方案&#xff0c;为了锻炼一下我们的思考和解决问题的能力&#xff0c;所以我们需要另辟蹊径。本篇将通过有限自动机来验证路径有效性&#xff0c…

eNSP中WLAN的配置和使用

一、基础配置 1.拓扑图 2.VLAN和IP配置 a.R1 <Huawei>system-view [Huawei]sysname R1 GigabitEthernet 0/0/0 [R1-GigabitEthernet0/0/0]ip address 200.200.200.200 24 b.S1 <Huawei>system-view [Huawei]sysname S1 [S1]vlan 100 [S1-vlan100]vlan 1…

Unity | API鉴权用到的函数汇总

目录 一、HMAC-SHA1 二、UriEncode 三、Date 四、Content-MD5 五、参数操作 六、阿里云API鉴权 一、HMAC-SHA1 使用 RFC 2104 中定义的 HMAC-SHA1 方法生成带有密钥的哈希值&#xff1a; private static string CalculateSignature(string secret, string data){byte[] k…

CPP入门:日期类的构建

目录 1.日期类的成员 2.日期类的成员函数 2.1构造和析构函数 2.2检查日期合法 2.3日期的打印 2.4操作符重载 2.4.1小于号 2.4.2等于号 2.4.3小于等于号 2.4.4大于号 2.4.5大于等于号 2.4.6不等号 2.4.7加等的实现 2.4.8加的实现 2.4.9减去一个天数的减等实现 2.4.10…

使用瀚高数据库开发管理工具进行数据的备份与恢复---国产瀚高数据库工作笔记008

使用瀚高数据库,备份 恢复数据 然后找到对应的目录 其实就是hgdbdeveloper,瀚高的数据库开发管理工具 对应的包中有个dbclient 这个目录,选中这个目录以后,就可以了,然后 在对应的数据库,比如 data_middle 中,选中 某个模式,比如bigdata_huiju 然后右键进行,点击 恢复,然…

Verilog开源项目——百兆以太网交换机(五)TCAM单元设计

Verilog开源项目——百兆以太网交换机&#xff08;五&#xff09;TCAM单元设计 &#x1f508;声明&#xff1a;未经作者允许&#xff0c;禁止转载 &#x1f603;博主主页&#xff1a;王_嘻嘻的CSDN主页 &#x1f511;全新原创以太网交换机项目&#xff0c;Blog内容将聚焦整体架…

核心实验:基于Web前端的性能测试分析!

实验简介 本实验主要利用IE和Chrome的F12开发人员工具结合Web前端测试分析相关知识&#xff0c;对常见网站进行基于前端的性能测试分析&#xff0c;本实验将不会使用到测试开发相关技术&#xff0c;而是纯粹意义上的手工测试&#xff0c;但却是很容易找到系统前端性能及设计问…