定义

欧拉函数：$\phi (n)$ 表示小于等于 n 且与 n 互质的数的个数

性质

• 对于质数 $n$，$\phi (n)=n-1$
• 对于两个互质的正数 $a、b$，有 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$
  • 对于两个质数，$\phi (ab)=(a-1)(b-1)$
• 当 $n$ 为奇数时，$\phi (2n)=\phi (n)$
• 如果 $n>2$ ，$\phi (n)$ 为偶数

求法

分解质因数

int euler_phi(int n)
{int ans = n;for (int i = 2; i * i <= n; i++){if (n % i == 0){ans = ans / i * (i - 1);while (n % i == 0) n /= i;}}if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);return ans;
}

线性筛

vector<int> pri;
bool not_prime[N];
int phi[N];void pre(int n)
{phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){if (!not_prime[i]){pri.push_back(i);phi[i] = i - 1;}for (int pri_j : pri){if (i * pri_j > n) break;not_prime[i * pri_j] = true;if (i % pri_j == 0){phi[i * pri_j] = phi[i] * pri_j;break;}phi[i * pri_j] = phi[i] * phi[pri_j];}}
}