题目来源

美团校招笔试真题_小美的平衡矩阵

题目描述

小美拿到了一个 n * n  的矩阵，其中每个元素是 0 或者 1。

小美认为一个矩形区域是完美的，当且仅当该区域内 0 的数量恰好等于 1 的数量。

现在，小美希望你回答有多少个 i * i 的完美矩形区域。你需要回答 1 ≤ i ≤ n 的所有答案。

输入描述

第一行输入一个正整数 n，代表矩阵大小。

• 1 ≤ n ≤ 200

接下来的 n 行，每行输入一个长度为 n 的 01 串，用来表示矩阵。

输出描述

输出 n 行，第 i 行输出的 i * i 的完美矩形区域的数量。

用例

输入	4 1010 0101 1100 0011
输出	0 7 0 1
说明	无

题目解析

本题需要我们求解 i * i 的完美矩形区域的数量，i 取值 1~n.

完美矩形区域：当且仅当该区域内 0 的数量恰好等于 1 的数量

比如下图中黄色部分是一个 2x2 的矩形区域，其中01数量相等，因此是一个完美矩形区域

因此，本题的关键其实是，求解输入矩阵中，任意 i * i 正方形区域中 '1' 的数量oneCount，如果满足： oneCount * 2 == i * i，则对应正方形区域是完美的。

那么，如何求解输入矩阵中，任意正方形区域中 '1' 的数量呢？

我们可以基于“二维数组前缀和”的知识来求解。

假设 dp[i][j] 表示输入矩阵中以 (0,0)为左上角点，(i,j)为右下角点的矩形中 '1' 的数量。

比如上图中，dp[1][1] = 2，即以(0,0)为左上角点，(1,1)为左下角点的矩形中 '1' 的数量为 2。

下图中红色区域1的数量存在关系如下：

其中橙色区域 是 绿色和蓝色区域的重叠区域，为了避免重复计算，所以要减去。

即存在状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j] - dp[i-1][j-1] + (matrix[i][j] == '1' ? 1 : 0)

上面状态转移方程求解i=0, j=0的右下角位置矩形时，会发生越界异常，

因此我们定义dp二维数组时，需要将dp矩阵的行数、列数都定义为n+1。dp矩阵的第一行和第一列初始为0。

之后，我们就可以遍历dp中所有正方形，然后基于dp来求解正方形中1的数量。比如下图中：

我们要求解：边长为 i=2，右下角位置 (r=3, c=2) 的正方形中 '1' 的数量，则有公式如下：

dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i]

公式可以对照下图理解： 

JS(Node)算法源码

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
const readline = async () => (await iter.next()).value;void (async function () {const n = parseInt(await readline());const matrix = [];for (let i = 0; i < n; i++) {matrix.push(await readline());}// 二维数组前缀和// dp[i][j] 表示matrix矩阵中以 (i-1, j-1) 位置为右下角点的矩形中1的数量const dp = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));for (let i = 1; i <= n; i++) {for (let j = 1; j <= n; j++) {// 此处公式请看图示说明dp[i][j] =parseInt(matrix[i - 1][j - 1]) +dp[i - 1][j] +dp[i][j - 1] -dp[i - 1][j - 1];}}// i 表示正方形边长for (let i = 2; i <= n; i += 2) {// i 为奇数时, 则对应 i*i 正方形面积也为奇数, 不可能平分, 所以不存在01平衡的console.log(0);// i 为偶数时let count = 0; // 记录01平衡的i*i正方形数量for (let r = i; r <= n; r++) {for (let c = i; c <= n; c++) {// 正方形中1的数量const oneCount =dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i];// 如果正方形中1的数量 == 正方形面积的一半，则形成01平衡if (oneCount * 2 == i * i) {count++;}}}console.log(count);}// 如果 n 是奇数，则上面for循环会遗漏 n*n 正方形的01平衡判断if (n % 2 != 0) {console.log(0);}
})();

Java算法源码

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = Integer.parseInt(sc.nextLine());char[][] matrix = new char[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {matrix[i] = sc.nextLine().toCharArray();}// 二维数组前缀和// dp[i][j] 表示matrix矩阵中以 (i-1, j-1) 位置为右下角点的矩形中1的数量int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 此处公式请看图示说明dp[i][j] = (matrix[i - 1][j - 1] - '0') + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];}}// i 表示正方形边长for (int i = 2; i <= n; i += 2) {// i 为奇数时, 则对应 i*i 正方形面积也为奇数, 不可能平分, 所以不存在01平衡的System.out.println(0);// i 为偶数时int count = 0; // 记录01平衡的i*i正方形数量for (int r = i; r <= n; r++) {for (int c = i; c <= n; c++) {// 正方形中1的数量int oneCount = dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i];// 如果正方形中1的数量 == 正方形面积的一半，则形成01平衡if (oneCount * 2 == i * i) {count++;}}}System.out.println(count);}// 如果 n 是奇数，则上面for循环会遗漏 n*n 正方形的01平衡判断if (n % 2 != 0) {System.out.println(0);}}
}

Python算法源码

# 输入获取
n = int(input())
matrix = [input() for _ in range(n)]# 核心代码
if __name__ == '__main__':# 二维数组前缀和# dp[i][j] 表示matrix矩阵中以 (i-1, j-1) 位置为右下角点的矩形中1的数量dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):# 此处公式请看图示说明dp[i][j] = int(matrix[i - 1][j - 1]) + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1]# i 表示正方形边长for i in range(2, n + 1, 2):# i 为奇数时, 则对应 i*i 正方形面积也为奇数, 不可能平分, 所以不存在01平衡的print(0)# i 为偶数时count = 0  # 记录01平衡的i*i正方形数量for r in range(i, n + 1):for c in range(i, n + 1):# 正方形中1的数量oneCount = dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i]# 如果正方形中1的数量 == 正方形面积的一半，则形成01平衡if oneCount * 2 == i * i:count += 1print(count)# 如果 n 是奇数，则上面for循环会遗漏 n*n 正方形的01平衡判断if n % 2 != 0:print(0)

C算法源码

#include <stdio.h>#define MAX_SIZE 201int main() {int n;scanf("%d", &n);char matrix[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = {'\0'};for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%s", matrix[i]);}// 二维数组前缀和// dp[i][j] 表示matrix矩阵中以 (i-1, j-1) 位置为右下角点的矩形中1的数量int dp[MAX_SIZE][MAX_SIZE] = {0};for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 此处公式请看图示说明dp[i][j] = (matrix[i - 1][j - 1] - '0') + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];}}// i 表示正方形边长for (int i = 2; i <= n; i += 2) {// i 为奇数时, 则对应 i*i 正方形面积也为奇数, 不可能平分, 所以不存在01平衡的puts("0");// i 为偶数时int count = 0; // 记录01平衡的i*i正方形数量for (int r = i; r <= n; r++) {for (int c = i; c <= n; c++) {// 正方形中1的数量int oneCount = dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i];// 如果正方形中1的数量 == 正方形面积的一半，则形成01平衡if (oneCount * 2 == i * i) {count++;}}}printf("%d\n", count);}// 如果 n 是奇数，则上面for循环会遗漏 n*n 正方形的01平衡判断if (n % 2 != 0) {puts("0");}return 0;
}

C++算法源码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;vector<string> matrix(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> matrix[i];}// 二维数组前缀和// dp[i][j] 表示matrix矩阵中以 (i-1, j-1) 位置为右下角点的矩形中1的数量vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 此处公式请看图示说明dp[i][j] = (matrix[i - 1][j - 1] - '0') + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];}}// i 表示正方形边长for (int i = 2; i <= n; i += 2) {// i 为奇数时, 则对应 i*i 正方形面积也为奇数, 不可能平分, 所以不存在01平衡的cout << 0 << endl;// i 为偶数时int count = 0; // 记录01平衡的i*i正方形数量for (int r = i; r <= n; r++) {for (int c = i; c <= n; c++) {// 正方形中1的数量int oneCount = dp[r][c] - dp[r][c - i] - dp[r - i][c] + dp[r - i][c - i];// 如果正方形中1的数量 == 正方形面积的一半，则形成01平衡if (oneCount * 2 == i * i) {count++;}}}cout << count << endl;}// 如果 n 是奇数，则上面for循环会遗漏 n*n 正方形的01平衡判断if (n % 2 != 0) {cout << 0 << endl;}return 0;
}