假设我们现在需要维护一段区间，实现对一段区间[L,R]的数的加/减，以及对区间中某个数的查询

最简单的方法把这段区间的数都记录到数组a[N]中，每次修改都对区间[L,R]的每一个数进行加减操作，然后在查询第k个数的时候返回a[k]

在上述算法中，修改操作的复杂度是o(n)，而查询操作的复杂度是o(1)

这种操作在查询次数大，修改次数小的时候很高效

但在修改次数大，查询次数少的时候，就显得很慢了

那么在这个时候，我们可以使用差分数组来维护这段区间

差分数组：

我们定义一个新的数组d[N]

且d[i]满足转移式：

d[i]=a[i]-a[i-1]，且d[0]等于0

也就是说,d[i]表示的是a[i]比其前面一个数大d[i]

那么在这个时候

假设我们需要对区间[l,r]的数都进行加k的操作，显然，区间[l+1,r]的d[i]的值都不变，因为在这个区间内的a[i]和a[i-1]都同时加上了k，所以他们的差值d[i]保持不变

而a[l]应该会比a[l-1]大k，a[r+1]应该会比a[r]小k

所以d[l]+=k;而d[r+1]-=k;

这样，就可以把对区间修改的时间复杂度降低到o(1)了

那么怎么进行查询呢？

观察d[i]的定义式，我们可以知道,a[x]=d[0]+d[1]+......d[x-1]+d[x]

所以，我们只需要o(n)的时间复杂度，把d数组的前x项求和，就可以得到a[x]的值了

树上差分：

上面提到的差分数组可以用来维护一维的区间

那么用同样的思路，我们也可以用差分的方法来维护树上的一段路径

我们现在定义树上的差分数组d[N]

假设现在有节点u和ls,rs，ls,rs是u的左右儿子

其中d[u]表示结点u的权值，那么d[u]=d[ls]+d[rs]

而d[ls]又可以分为d[ls的左儿子]+d[ls的右儿子]

这样无限递归直到叶子结点

我们类比一下上面的差分数组的单点查询，可以发现这非常的相似

我们对于树上一段路径的修改，是否也可以通过单点修改而降低时间复杂度呢？

答案是肯定的

我们这里将修改分为两种：

1.点修改

假定我们现在需要把路径(x,y)上的点的权值全部加k

对于x的父亲而言，只要x加了k，那么他自己自然也就加了k，这对x的父亲的父亲一样适用

对于y的父亲也是同理

那么x到y的路径中，一定包含了x的若干个祖先，y的若干个祖先，以及x和y的lca（最近公共祖先）

那么对于lca而言，他的值等于x的某个祖先的权值+y的某个祖先的权值，也就是说加了两次k

所以lca的sum应该减去k来抵消多加的一个k

而对于lca的父亲fa而言，他并没有加多一个k，但由于lca加多了一个k，所以fa也应该减去一个k

由此可以得到，对于修改路径(x,y)上的点权，假定为加k，那么就是：

d[x]+=k;d[y]+=k;d[lca(x,y)]-=k;d[fa(lca(x,y))]-=k;

2.边修改：

假定我们现在需要把路径(x,y)上的边权全部加k

由于对边的权值操作比较困难，我们将其下方到点权进行

对于这个下方操作，我们定义：

假定a是儿子，b是父亲,w是连接a与b的一条边，那么w的边权就等于d[b]，同时,d数组的定义与上面的点修改中提到的一致

那么我们只需要让d[x]+=k;d[y]+=k;

这样子的话，对于路径(x,y)上的连接x的祖先们的边，连接y的祖先们的边的权值自然也就加上了k

但是对于lca(x,y)而言，由于他一条连接着x的祖先的边权加了k，另一条连着y的祖先的边权也加了k，为了不影响连接lca与其父亲的边权，所以d[lca(x,y)]需要减去2个k

总结就是：

d[x]+=k;d[y]+=k;d[lca(x,y)]-=2*k;

对于树上的单点修改，我们使用dfs即可