【线性代数 C++】求逆矩阵

  • 对于 n n n阶矩阵 A A A,如果有 n n n阶矩阵 B B B,使 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E,则说 A A A是可逆的,并把 B B B称为 A A A逆矩阵.
  • A A A的逆矩阵记作 A − 1 A^{-1} A1,则 B = A − 1 B=A^{-1} B=A1.
  • ∣ A ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} \neq 0 A =0,则 A A A可逆,且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}}A^* A1=A1A.
  • 上式中, ∣ A ∣ \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} A A A A的行列式, A ∗ A^* A A A A的伴随矩阵.
  • 根据上述内容,为求逆矩阵,需要分别求得矩阵行列式的值和矩阵的逆矩阵.

1 矩阵行列式求值

1.1 定义

  • n n n阶方阵 A A A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为 A A A的行列式,记作 ∣ A ∣ \begin{vmatrix}A \end{vmatrix} A d e t A detA detA.

1.2 C++代码

为便于管理函数,建立行列式类CDeterminant.

  • 求行列式值的两种途径:一是根据行列式定义、二是利用代数余子式.
  • 在CDeterminant类中增加两个成员函数GetCetValByDef()和GetDetValByRem(),相关代码参考【线性代数|行列式定义及其值】和【线性代数 | C++】行列式按行(列)展开。

2 求伴随矩阵

2.1 定义

  • 行列式 ∣ A ∣ \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} A 各元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij构成的如下矩阵 A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] , A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\A_{1n} & A_{2n} &\cdots & A_{nn}\end{bmatrix}, A= A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann ,称为矩阵 A A A伴随矩阵.
  • 注意:伴随矩阵 A ∗ A^* A中元素的位置与对应行列式 ∣ A ∣ \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} A 中元素的位置呈转置关系.

2.2 C++代码

2.2.1 求余子式
  • 由定义可知,求伴随矩阵,需先求行列式各元素的代数余子式.
  • 求代数余子式,需先求余子式.
  • 故,在CDeterminant类中增加一个求行列式余子式的成员函数GetDetRem().
//在CDeterminant.h声明成员函数
static bool GetDetRem
(const vector<vector<double>> &vvDetInput, //原始行列式int i,  //待求余子式元素的行号int j,  //待求余子式元素的列号vector<vector<double>> &vvDetRet    //求得的余子式
);
//在CDeterminant.cpp中定义成员函数
bool CDeterminant::GetDetRem
(const vector<vector<double>> &vvDetInput, int i, int j,vector<vector<double>> &vvDetRet
)
{if (false == IsDet(vvDetInput))//形参是否符合行列式格式要求return false;vvDetRet.clear();vvDetRet = vvDetInput;//删除元素所在的行vvDetRet.erase(vvDetRet.cbegin() + i);for (int i = 0; i < vvDetRet.size(); i++){//删除元素所在的列vvDetRet[i].erase(vvDetRet[i].cbegin() + j);}return true;
}
2.2.2 求伴随矩阵
  • 在CMatrix类中添加GetAdjointMat函数,用于求伴随矩阵.其思路是:
    1. 按列逐行取得矩阵的元素;
    2. 求相应的余子式
    3. 对余子式求值
    4. 求代数余子式
    5. 将代数余子式的值,按行填入新矩阵
    6. 得到伴随矩阵
//在CMatrix.h中声明成员函数
static bool GetAdjointMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvMatRet
);
//在CMatrix.cpp中定义成员函数
bool CMatrix::GetAdjointMat
(const vector<vector<double>> &vvMatInput,vector<vector<double>> &vvMatRet
)
{//判断vector变量是否符合行列式格式if (false == CDeterminant::IsDet(vvMatInput))return false;vvMatRet.clear();vector<double> vTemp;//临时存储伴随矩阵的行元素vector<vector<double>> vvDetTemp;//临时存储余子式double iDetValTemp;//临时存储余子式的值//按列循环for (int i = 0; i < vvMatInput[0].size(); i++){vTemp.clear();//按行循环for (int j = 0; j < vvMatInput.size(); j++){//求余子式vvDetTemp.clear();CDeterminant::GetDetRem(vvMatInput, j, i, vvDetTemp);//余子式求值iDetValTemp = 0;CDeterminant::GetDetValByDef(vvDetTemp, iDetValTemp);//求代数余子式iDetValTemp = (pow(-1, i + j) * iDetValTemp);//代数余子式的值填入新矩阵的行元素中vTemp.push_back(iDetValTemp);}  //行元素填入新矩阵中vvMatRet.push_back(vTemp);  }  return true;
}

3 求逆矩阵

  • 利用前面求得的 ∣ A ∣ \begin{vmatrix}A \end{vmatrix} A A ∗ A^* A,按照公式 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}}A^* A1=A1A,可以求得 A A A的逆矩阵.
  • 在CMatrix类中增加GetInverseMat函数,以实现上述功能.
//在CMatrix.h中声明函数
static bool GetInverseMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvInverseMat
);
//在CMatrix.cpp中定义函数
bool CMatrix::GetInverseMat
(const vector<vector<double>> &vvMatInput,vector<vector<double>> &vvInverseMat
)
{if (false == CDeterminant::IsDet(vvMatInput))return false;//方阵行列式值不等于0时,方阵可逆double fDetVal;CDeterminant::GetDetValByDef(vvMatInput, fDetVal);if (0 == fDetVal)return false;  fDetVal = 1.0 / fDetVal;vector<vector<double>> vvMatTemp;GetAdjointMat(vvMatInput, vvMatTemp);//求伴随矩阵vvInverseMat.clear();MatMulti(fDetVal, vvMatTemp, vvInverseMat);//求数与矩阵相乘return true;
}

4 测试

//在test.cpp中测试
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>#include "CMatrix.h"using namespace std;bool PrintMat
(const vector<vector<double>> &vvMat
)
{for (int i = 0; i < vvMat.size(); i++){for (int j = 0; j < vvMat[i].size(); j++){cout << setw(5) << vvMat[i][j];}cout << endl;}return true;
}int main()
{vector<vector<double>> vvMatA{{ 1, 2, 3},{ 2, 2, 1},{ 3, 4, 3}};vector<vector<double>> vvMatRet;if (false == CMatrix::GetInverseMat(vvMatA, vvMatRet)){cout << "计算失败" << endl;}else{PrintMat(vvMatRet);} return 0;
}

在这里插入图片描述


  1. 引用文献:《工程数学 线性代数(第五版)》同济大学数学系编,高等教育出版社.
  2. 以上为个人学习、练习的记录,如有错误,欢迎指正.

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