1.什么是AVL树

二叉搜索树可以提高搜索的效率，但是如果数据有序或者接近有序，就会退化为单边树，查找效率相当于在顺序表中查找数据，时间复杂度会退化到O(n)。AVL树解决了这个问题，通过保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，将时间复杂度保证在O(log2(n))左右。

 2.AVL树的结构

• 创建指针分别指向左孩子，右孩子和父亲节点
• 创建平衡因子_bf，平衡因子就是右子树高度减左子树高度
• 创建Pair存键值对

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; pair<K, V> _kv;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
}

3.AVL树的插入

1. 按二叉搜索树的规则插入

2. 更新平衡因子

3. 根据平衡因子，改变树的结构

在寻找插入位置时，需要记录父亲节点的指针，通过判断需要插入的键和父亲节点的键的大小，找到插入节点在父亲节点的左右，进而更新一下树的平衡因子，最后根据平衡因子进行树结构的调节

• 向树中插入一个节点，这个节点只会影响它的祖先，不影响其他节点。所以我们在插入节点的祖先节点中更新平衡因子
• 如果parent的平衡因子=0，说明parent原来的平衡因子绝对值=1，新插入节点在父节点的空孩子，不会影响祖先节点，直接返回即可
• 
• 如果parent的平衡因子的绝对值为1，需要向上更新祖先节点的平衡因子
• 下面的情况从新增节点，向上更新发生的
• 如果parent的平衡因子=2，cur的平衡因子=1，进行左单旋
• 如果parent的平衡因子=2，cur的平衡因子=-1，进行左右单旋
• 如果parent的平衡因子=-2，cur的平衡因子=-1，进行右单旋
• 如果parent的平衡因子=-2，cur的平衡因子=1，进行左右单旋

template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){if(cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}

4.旋转调整

1.左单旋

1. 触发条件：当某个节点的右子树高度比左子树高度高出2时（即平衡因子为2），且子节点的右子树高度比左子树高1时（即平衡因子为1），需要进行左单旋来重新平衡树。
2. 旋转点：parent为触发旋转的节点（平衡因子=2），SubR为parent的右孩子，SubRL为SubR的左孩子
3. 旋转过程：把SubRL变成parent的右孩子，把parent变成SubR的左孩子，把原parent的父亲节点变成SubR的父亲节点
4. 更新平衡因子：SubR的平衡因子=0，parent的平衡因子=0
5. 重复操作：递归向上调整

 

void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}

 

2.右单旋

1. 触发条件：当某个节点的左子树高度比右子树高度高出2时（即平衡因子为2），且子节点的左子树高度比右子树高1时（即平衡因子为-1），需要进行左单旋来重新平衡树。
2. 旋转点：parent为触发旋转的节点（平衡因子=-2），SubL为parent的左孩子，SubLR为SubR的右孩子
3. 旋转过程：把SubLR变成parent的左孩子，把parent变成SubL的右孩子，把原parent的父亲节点变成SubL的父亲节点
4. 更新平衡因子：SubR的平衡因子=0，parent的平衡因子=0
5. 重复操作：递归向上调整

void RotateR(Node* parent) {Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

 3.右左单旋

1. 触发条件：当某个节点的右子树高度比左子树高度高出2时（即平衡因子为2），且子节点的左子树高度比右子树高1时（即平衡因子为-1），需要进行左单旋来重新平衡树。
2. 旋转点：parent为触发旋转的节点（平衡因子=2），SubR为parent的右孩子，SubRL为SubR的左孩子
3. 旋转过程：将SubR进行右单旋，再对parent进行左单旋
4. 更新平衡因子：根据SubRL原平衡因子，更新SubR和parent的平衡因子
5. 重复操作：递归向上调整

 

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}}

 

4.左右单旋

1. 触发条件：当某个节点的左子树高度比右子树高度高出2时（即平衡因子为-2），且子节点的右子树高度比左子树高1时（即平衡因子为1），需要进行左单旋来重新平衡树。
2. 旋转点：parent为触发旋转的节点（平衡因子=2），SubL为parent的左孩子，SubLR为SubR的右孩子
3. 旋转过程：将SubL进行左单旋，再对parent进行右单旋
4. 更新平衡因子：根据SubLR原平衡因子，更新SubL和parent的平衡因子
5. 重复操作：递归向上调整

 

 

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}