算法设计与分析：并查集法求图论桥问题

一、实验目的

二、问题描述

三、实验要求

四、算法思想

1. 基准算法

1.1 算法思想

1.2 代码

1.3 时间复杂度

2. 使用并查集的高效算法

2.1 算法思想

2.2 代码：

2.3 时间复杂度：

五、实验结果

一、实验目的

1. 掌握图的连通性。

2. 掌握并查集的基本原理和应用。

二、问题描述

在图论中，一条边被称为“桥”代表这条边一旦被删除，这个图的连通块数量会增加。等价地说，一条边是一座桥当且仅当这条边不在任何环上，一个图可以有零或多座桥。现要找出一个无向图中所有的桥，基准算法为：对于图中每条边uv，删除该边后，运用BFS或DFS确定u和v是否仍然连通，若不连通，则uv是桥。应用并查集设计一个比基准算法更高效的算法，不要使用Tarjan算法。

图1 没有桥的无向连通图图2 有16个顶点和6个桥的图（桥以红色线段标示）

三、实验要求

1. 实现上述基准算法。

2. 设计的高效算法中必须使用并查集，如有需要，可以配合使用其他任何数据结构。

3. 用图2的例子验证算法的正确性，该图存储在smallG.txt中，文件中第1行是顶点数，第2行是边数，后面是每条边的两个端点。

4. 使用文件mediumG.txt和largeG.txt中的无向图测试基准算法和高效算法的性能，记录两个算法的运行时间。

5. 实验课检查内容：对于smallG.txt、mediumG.txt、largeG.txt中的无向图，测试高效算法的输出结果和运行时间，检查该代码，限用C或C++语言编写。其中smallG.txt和mediumG.txt为必做内容，运行时间在4分钟内有效，直接在终端输出结果和运行时间。以smallG.txt为例，输出如下：

0 1

2 3

2 6

6 7

9 10

12 13

0.002

其中，第一行的6表示桥数，接下来的6行分别是6座桥的两个端点，小端点在前，大端点在后，6座桥按照端点从小到大的顺序输出，最后一行的0.002为整个main函数的运行时间，单位为秒。

四、算法思想

1. 基准算法

1.1 算法思想

1）先dfs遍历图，得到连通分量个数N；

2）遍历边集，对于每条边ei，先删除ei；

3）再次dfs得到此时的连通分量个数num，

4）如果num!=N，则ei为桥；否则不为桥。

5）恢复ei，取下一条边ei+1，回到2）继续，直到遍历完全部边。

1.2 代码

int **k,*v,n,m,**br,brnum,N;
//邻接矩阵、访问位、点数、边数、是否为桥、桥数、
int *p,*d,*qiao;//并查集、点的深度、标记dfs2后是否为桥
string filename;//文件名void read1(){//初始化int i,a,b;ifstream file(filename.c_str());file>>n>>m;k=new int*[n];v=new int[n];br=new int*[n];brnum=0;for(i=0;i<n;i++){k[i]=new int[n];br[i]=new int[2];v[i]=0;br[i][0]=br[i][1]=0;for(int j=0;j<n;j++)k[i][j]=0;}for(i=0;i<m;i++){file>>a>>b;k[a][b]=1;k[b][a]=1;}file.close();
}void dfs1(int a){//dfs深度遍历int i;v[a]=1;for(i=0;i<n;i++)if(k[a][i]&&!v[i])dfs1(i);
}int count1(){//计算连通分量个数int i,num=0;for(i=0;i<n;i++)if(!v[i]){dfs1(i);num++;}return num;
}void base(){//基准法int i,j,a,b,num;ifstream file(filename.c_str());file>>n>>m;N=count1();for(i=0;i<m;i++){file>>a>>b;k[a][b]=0;//先删除该边k[b][a]=0;for(j=0;j<n;j++)v[j]=0;num=count1();if(num!=N){//判断是否为桥br[brnum][0]=a;//记录桥br[brnum][1]=b;brnum++;//桥个数增加}k[a][b]=1;//恢复该边k[b][a]=1;}file.close();
}void print1(){//因为实验对输出格式有要求int i,j,a,b;cout<<brnum<<endl;for(i=0;i<brnum-1;i++){//选择排序a=i;for(j=i+1;j<brnum;j++){if(br[j][0]<br[a][0]||(br[j][0]==br[a][0]&&br[j][1]<br[a][1]))//父端较小 或 父端相同、子端较小a=j;}b=br[a][0];br[a][0]=br[i][0];br[i][0]=b;b=br[a][1];br[a][1]=br[i][1];br[i][1]=b;}for(int i=0;i<brnum;i++){cout<<br[i][0]<<" "<<br[i][1]<<endl;}
}

1.3 时间复杂度

n个点，m条边。需要遍历m条边，O(m)，每次都需要count1一次，而count1由于是使用邻接矩阵储存边关系，最坏情况为O(n^2)。所以总的时间复杂度为O(m*n^2)。

如果用邻接表，则count1的时间复杂度为O(n+m)，总时间复杂度变为O(m(n+m))。

2. 使用并查集的高效算法

2.1 算法思想

桥的等价意义：不在环上的边。

树是边数最小的无环图，当向树上添加任意一条顶点都在树上的边时，会形成环。桥不在环上，所以桥只能在图的生成树上。

所以还是先构建生成树，然后不断dfs，不过dfs过程中顺便记录每个点的深度d[i]。

再遍历所有边，每次遍历时：

如果为生成树上的边则直接return。

否则：求当前边两端点的最近公共祖先（LCA），过程中将路过的边（在环上）置为非桥边（q[i]==0）；并根据LCA进行路径压缩compress（将环上除了LCA本身的点的父节点均设置为LCA）。

这里以点带边，即q[i]==1表示以第i个点为尾的生成树上的边为桥，该边用(p[i],i)表示（p[i]为i在生成树上的父节点）。

2.2 代码：

void read2(){//读入文件信息并初始化…………
}void dfs2(int a,int b,int depth){//b is the ancestor of a…………
}void count2(){//生成生成树、并查集、深度集合等…………
}void compress(int x,int a){//路径压缩if(p[x]==a)//等于最近公共祖先return;else{int t=x;x=p[x];p[t]=a;compress(x,a);}
}void LCA(int a,int b){//对每条边的两点找最近公共祖先if(p[a]==b||p[b]==a)//在生成树上的边，直接返回return;else{int u=a,v=b,//保留原边的两端x=0,y=0;//判断a、b是否在while中执行了a=p[a]、b=p[b]操作，有执行才压缩，//避免其中一点是最近公共祖先时压缩导致该点父节点被自己覆盖while(1){if(d[a]>d[b]){//深度大的向上遍历qiao[a]=0;a=p[a];x=1;}else if(d[a]<d[b]){//深度大的向上遍历qiao[b]=0;b=p[b];y=1;}else if(a!=b){//深度相同但不同点，一起向上遍历qiao[a]=0;qiao[b]=0;a=p[a];b=p[b];x=y=1;}else break;//同个点，a=b=最近公共祖先}//此时a==bif(x)//路径压缩compress(u,a);if(y)compress(v,b);}
}
void better(){//并查集的高效算法int i,a,b;ifstream file(filename.c_str());//读入文件count2();//生成生成树、并查集、深度集合等file>>n>>m;for(i=0;i<m;i++){//遍历每一条边file>>a>>b;LCA(a,b);//求最近公共祖先}file.close();
}
void print2(){//打印输出……
}

虽然压缩后不能再直接使用”if(p[a]==b||p[b]==a)“判断边(a,b)是否为原生成树上的边，但不影响结果。因为压缩的边都是非桥边，只不过会执行下面的while。但总体上压缩后效率还是提高了的。