413. 等差数列划分https://leetcode.cn/problems/arithmetic-slices/description/

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7]和[3,-1,-5,-9]都是等差数列。给你一个整数数组nums，返回数组nums中所有为等差数组的子数组个数。子数组是数组中的一个连续序列。

1. 输入：nums = [1,2,3,4]，输出：3，解释：nums中有三个子等差数组：[1, 2, 3]、[2, 3, 4]和[1,2,3,4]自身。
2. 输入：nums = [1]，输出：0。

提示：1 <= nums.length <= 5000，-1000 <= nums[i] <= 1000。

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我们用动态规划的思想来解决这个问题。

确定状态表示：根据经验和题目要求，我们用dp[i]表示：以i位置为结尾的所有子数组中，等差数列的个数。

推导状态转移方程：既然是以i位置为结尾的等差数列，那么nums[i - 2]、nums[i - 1]和nums[i]首先要构成等差数列，因为题目中说明了等差数量的长度至少是3。所以我们可以分类讨论：

• 如果nums[i - 2]、nums[i - 1]和nums[i]不构成等差数列，显然dp[i] = 0。
• 如果nums[i - 2]、nums[i - 1]和nums[i]构成等差数列，那么如果一个等差数列以i - 1位置为结尾，这个等差数列的末尾加上nums[i]就依然是一个等差数列。所以，以i位置为结尾的等差数列分为2类：以i - 1位置为结尾的等差数列的末尾加上nums[i]构成的等差数列，以及nums[i - 2]、nums[i - 1]和nums[i]构成的等差数列。注意：后一种情况不属于前一种情况，因为nums[i - 2]、nums[i - 1]只有2个元素，不构成等差数列。所以，此时dp[i] = dp[i - 1] + 1。

如果nums[i - 2]、nums[i - 1]和nums[i]构成等差数列，那么nums[i - 1] * 2 = nums[i] + nums[i - 2]。所以状态转移方程是：dp[i] = nums[i - 1] * 2 == nums[i] + nums[i - 2] ? dp[i - 1] + 1 : 0。

初始化：根据状态转移方程，我们需要初始化dp[0]和dp[1]的值，防止越界。注意计算dp[1]也会导致越界，因为要判断nums[-1]、nums[0]和nums[1]是否构成等差数列。显然dp[0] = dp[1] = 0，因为等差数列至少有3个元素。

填表顺序：根据状态转移方程，显然要从左往右填表。

返回值：根据状态表示，由于我们不确定等差数列的结尾位置，所以应返回dp表中所有元素的和。

细节问题：dp表的规模和nums相同，均为1 x n。

时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(N)。

class Solution {
public:int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 创建dp表vector<int> dp(n);// 填表for (int i = 2; i < n; i++) {if (nums[i - 1] * 2 == nums[i] + nums[i - 2]) {dp[i] = dp[i - 1] + 1;}}// 返回结果return accumulate(dp.begin(), dp.end(), 0);}
};