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2022 CSP-J 阅读程序2
阅读程序(判断题1.5分 选择题3分 共计40分 )
01 #include <algorithm>
02 #include <iostream>
03 #include <limits>
04
05 using namespace std;
06
07 const int MAXN = 105;
08 const int MAXK = 105;
09
10 int h[MAXN][MAXK];
11
12 int f(int n, int m)
13 {
14 if(m == 1) return n;
15 if(n == 0) return 0;
16
17 int ret = numeric_limits<int>::max();
18 for(int i=1; i<=n;i++)
19 ret = min(ret,max(f(n-i,m),f(i-1,m-1)+1));
20 return ret;
21 }
22
23 int g(int n,int m)
24 {
25 for(int i=1;i<=n;i++)
26 h[i][1]=i;
27 for(int j=1;j<=m;j++)
28 h[0][j]=0;
29
30 for(int i=1;i<=n;i++){
31 for(int j=2;j<=m;j++){
32 h[i][j]=numeric_limits<int>::max();
33 for(int k=1;k<=i;k++)
34 h[i][j]=min(
35 h[i][j],
36 max(h[i-k][j],h[k-1][j-1])+1);
37 }
38 }
39
40 return h[n][m];
41 }
42
43 int main()
44 {
45 int n,m;
46 cin>>n>>m;
47 cout<<f(n,m)<<endl<<g(n,m)<<endl;
48 return 0;
49 }
假设输入的n、m均时不超过100的正整数，完成下面的判断题和选择题
判断题
22.当输入为"7 3"时，第19行用来取最小值的min函数执行了449次( )
23.输出的两行整数总是相同的( )
24.当m为1时，输出的第一行总为n（ ）
单选题
25.算法g(n,m)最为准确的时间复杂度分析结果为( )
A. O( n 3 / 2 m n^{3/2}m n3/2m)
B. O(nm)
C. O( n 2 m n^2m n2m)
D. O( n m 2 nm^2 nm2)
26.当输入为"20 2"时,输出的第一行为( )
A. “4”
B. “5”
C. “6”
D. “20”
27.（4分）当输入为"100 100"时,输出的第一行为( )
A. “6”
B. “7”
C. “8”
D. “9”
2 相关知识点
1) 整数最大值
一般来说，数值类型的极值是一个与平台相关的特性。C++标准程序库通过template numeric_limits提供这些极值，取代传统C语言所采用的预处理常数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*c++提供了一些求极值的函数整数最大值 numeric_limits max min*/
int main(){int max_int = numeric_limits<int>::max();//int类型的最大值 cout<<max_int<<endl;//2147483647int min_int = numeric_limits<int>::min();//int类型的最小值 cout<<min_int<<endl;//-2147483648long long max_long = numeric_limits<long long>::max();//long long 类型的最大值 cout<<max_long<<endl;//9223372036854775807return 0;
}
2) 递归(Recursion)
递归是一种解决问题的方法，它通过将问题分解为更小的子问题来解决。
一个递归函数会在其定义中直接或间接地调用自身
递归通常包括两个部分：基本情况（Base case）和递归步骤（Recursive step）。
基本情况是指当问题规模变得足够小时，可以直接得到解决方案的情况。
3) 递推(Recurrence)
递推是一种描述序列中项与项之间关系的方法。递推关系通常用于定义具有某种规律性的数列，如斐波那契数列
递推关系可以用一个公式或方程来表示，该公式或方程描述了序列中的每一项如何由前一项（或前几项）计算得出
4) 递归和递推区别
递归是一种解决问题的方法，通过将问题分解为更小的子问题来解决，自上而下分解，通常会出现多次重复计算问题
递推是一种描述序列中项与项之间关系的方法，自底而上计算，避免重复计算
通过斐波那契数列演示区别
递归f(3)重复计算3次，如果数更大重复更多
递推计算是从最底层计算，计算上一层时使用前面的计算结果，所以f(3)只计算1次
3 思路分析
假设输入的n、m均时不超过100的正整数，完成下面的判断题和选择题
判断题
22.当输入为"7 3"时，第19行用来取最小值的min函数执行了449次( )
答案 F
分析
19行min的计算次数有2步组成
1 for循环的次数，循环1次调用1次min函数
2 每次for循环包括2个递归调用，可以分别计算，由于递归调用出现多次重复计算，可以转换递推减少计算
令C(i,j)表示i行，j列时递归执行次数，计算如下表格，可以找到对应规律
23.输出的两行整数总是相同的( T )
分析
2行正数，对应2个函数的输出
从2个函数看，一个实现方式是递归，一个实现方式是动态规划，即递推记录到数组
初始值相同并且递归、递推式相同，所以在输入相同的情况下，输出结果相同
24.当m为1时，输出的第一行总为n（ ）
分析
//第1行输出，对应f函数
//从程序看m为1时 返回n 不进行递归调用，所以第1行总为n
if(m == 1) return n;
单选题
25.算法g(n,m)最为准确的时间复杂度分析结果为( C )
A. O( n 3 / 2 m n^{3/2}m n3/2m)
B. O(nm)
C. O( n 2 m n^2m n2m)
D. O( n m 2 nm^2 nm2)
分析
/*算法g(n,m)的时间复杂度主要取决于如下代码时间复杂度使用大O表示法对于足够大的输入规模，我们往往不需要花费很大力气计算太精确的结果，通常指关系增长级量，即算法的渐进效率所以for(int k=1;k<=i;k++) 中i和n不完全一致，但规模有相关性，因此通常使用n所以如下3层嵌套循环时间复杂度O(n*m*n)
*/
30 for(int i=1;i<=n;i++){
31 for(int j=2;j<=m;j++){
32 h[i][j]=numeric_limits<int>::max();
33 for(int k=1;k<=i;k++)
34 h[i][j]=min(
35 h[i][j],
36 max(h[i-k][j],h[k-1][j-1])+1);
37 }
38 }
26.当输入为"20 2"时,输出的第一行为( C )
A. “4”
B. “5”
C. “6”
D. “20”
分析
第1行输出，对应f函数的返回值，由于f函数和g函数功能相同，g函数减少重复计算，所以我们可以g函数对应的值
g函数初始化了h[n][m]数组
m=1时，对应第1列初始值为n，分别1，2，3，4....
n=1时，第0行全是0
根据如下程序对应第2列赋值
h[1][1]=max(h[0][2],h[0][1])+1=1
h[2][2]=min(max(h[1][2],h[0][1])+1,max(h[0][2],h[1][1])+1)=min(1+1,1+1)=2
h[3][2]=min(max(h[2][2],h[0][1])+1,max(h[1][2],h[1][1])+1,max(h[0][2],h[2][1])+1)=min(2+1,1+1,2+1)=3
/*2行2列时，如下图红色箭头四对，每一对取最大值+1取4对中的最小值
*/
h[4][2]=min(max(h[3][2],h[0][1])+1,max(h[2][2],h[1][1])+1,max(h[1][2],h[2][1])+1,max(h[0][2],h[3][1])+1)=3
30 for(int i=1;i<=n;i++){
31 for(int j=2;j<=m;j++){
32 h[i][j]=numeric_limits<int>::max();
33 for(int k=1;k<=i;k++)
34 h[i][j]=min(
35 h[i][j],
36 max(h[i-k][j],h[k-1][j-1])+1);
37 }
38 }
/*5行2列也是同样计算，结果为320行2列计算结果为6
*/
27.（4分）当输入为"100 100"时,输出的第一行为( B )
A. “6”
B. “7”
C. “8”
D. “9”
分析
入参非常大无论递归和动态规划表格计算都会有巨大的计算量这个问题是测试鸡蛋硬度的问题，问题大概描述如下：
小明用2个玻璃瓶，在总高88层大楼测试瓶子硬度，拿1个从某层摔下去，瓶子没摔碎，到更高层去摔，如果碎了，拿另1瓶子到更低层摔
问测试出瓶子最大硬度最少摔几次？上面程序通过递归和动态规划解决这个问题，主要是瓶子数量有限制，
在每一层，建设当前为k层都去试一下，如果碎了，少1个鸡蛋到更少的区间测试h[k-1][j-1]
如果没碎，到更高的高度去测试，测试的这些结果去最小值
此题如果瓶子足够的情况下，可以使用2分去测试，只要最多用7个鸡蛋就可以测试鸡蛋硬度最大可到第几层
2^7=128>100
