matlab编写微分方程椭圆型方程(一维形式)

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      • 理论
      • 编程实例
      • 原代码

理论

椭圆型方程一维格式即常微分方程,边值问题,方程如下所示:

在这里插入图片描述
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截断误差:
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h → ∞ h\rightarrow\infty h时,截断误差趋于零,离散方程组成立,
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写成矩阵:
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用离散化方程组求解:
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编程实例

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对比:
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边值条件:

% boundary conditions
u0 = 1;
uN = exp(1);

区域的划分:

% partion of the domain
N = 20;
h = 1/N;
x_all = (0:h:1)';
x = x_all(2:end-1);

代入d:
在这里插入图片描述

% the right hand side
d = fx(x);
d(1) = d(1) + u0/h^2;
d(N-1) = d(N-1) + uN/h^2;

其中:

function y = fx (x)
y = (x-1).*exp(x);
end

thomas算法:

% thomas algorithm
u = thomas (a,b,c,d);

在这里插入图片描述
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function u = thomas(a, b, c, d)
M = length(a);
u = zeros(M,1);
e = zeros(M,1);
f = zeros(M,1);
e(1) = c(1)/b(1);
f(1) = d(1)/b(1);% forward
for i = 2:Me(i) = c(i)/( b(i)-a(i)*e(i-1));f(i) = (d(i)+a(i)*f(i-1))/(b(i)-a(i)*e(i-1));
end

在这里插入图片描述

%backward
u(M) = f(M);
for i = M-1:-1:1u(i) = f(i) + e(i)*u(i+1);
end
end

计算真解:

% the exact solution
u_e = u_exact(x_all);

原代码

% boundary conditions
u0 = 1;
uN = exp(1);% partion of the domain
N = 20;
h = 1/N;
x_all = (0:h:1)';
x = x_all(2:end-1);% the right hand side
d = fx(x);
d(1) = d(1) + u0/h^2;
d(N-1) = d(N-1) + uN/h^2;% diagonals of the coefficient matrix A
q = qx(x);
a = ones (N-1,1)/h^2;
b = 2*ones (N-1,1)/h^2 + q;
c = a;% thomas algorithm
u = thomas (a,b,c,d);% A = spdiags([-a b -c],[-1 0 1],N-1,N-1);
% u = A\d;% the exact solution
u_e = u_exact(x_all);figure(1)
plot(x_all,[u0;u;uN],'g*',x_all,u_e,'r');
% end
%——--subroutines-
function y = qx(x)
y = x;
endfunction y = fx (x)
y = (x-1).*exp(x);
endfunction y = u_exact(x)
y = exp(x);
endfunction u = thomas(a, b, c, d)
M = length(a);
u = zeros(M,1);
e = zeros(M,1);
f = zeros(M,1);
e(1) = c(1)/b(1);
f(1) = d(1)/b(1);% forward
for i = 2:Me(i) = c(i)/( b(i)-a(i)*e(i-1));f(i) = (d(i)+a(i)*f(i-1))/(b(i)-a(i)*e(i-1));
end%backward
u(M) = f(M);
for i = M-1:-1:1u(i) = f(i) + e(i)*u(i+1);
end
end

输出结果:
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