线性DP
例题1
1143. 最长公共子序列 （LCS）
子序列不连续
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
本质是选或不选
dfs（i，j）表示s的前i个字母和t的前j个字母的LCS长度
当s[i]=t[j]的时候，dfs（i-1，j-1)+1是要大于前面两个的，舍弃前两个
s[i]!=t[j]的时候，前面两个会自动递归到 dfs（i-1，j-1)+1，因此舍弃
代码：
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:x=len(text1)y=len(text2)@cachedef dfs(n,m):if n<0 or m<0:return 0if text1[n]==text2[m]:return (dfs(n-1,m-1)+1)if text1[n]!=text2[m]:return max(dfs(n-1,m),dfs(n,m-1))return dfs(x-1,y-1)改成数组：注意避免负数下标，这里都往后移一位
class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:x1=len(text1)y1=len(text2)f=[[0]*(y1+1) for _ in range(x1+1)]for i,x in enumerate(text1):for j,y in enumerate(text2):if x==y:f[i+1][j+1]=f[i][j]+1else:f[i+1][j+1]=max(f[i][j+1],f[i+1][j])return f[x1][y1]72. 编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros" 输出：3 解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')
思路：从末尾值开始比较，如果s[i]=t[j] 直接dfs(i-1.j-1),因为不能改变这个值已经想同了
删除一个字母：相当于去掉s[i],也就是dfs（i，j-1）
插入一个字母，插入的肯定是和t[j]是一样的，所以是dfs[i+1,j],因为此时s[i]=t[j] ，所以同时减去1，得到最终答案dfs(i.j-1)
替换：把s【i】替换成t【j】，在同时减去1，也就是dfs（i-1，j-1）+1
代码：
class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:n=len(word1)m=len(word2)@cachedef dfs(i,j):if i<0:return j+1if j<0:return i+1if word1[i]==word2[j]:return dfs(i-1,j-1)return min(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1),dfs(i-1,j-1))+1return dfs(n-1,m-1)数组：
class Solution:def minDistance(self, s: str, t: str) -> int:n, m = len(s), len(t)f = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]f[0] = list(range(m + 1))for i, x in enumerate(s):f[i + 1][0] = i + 1for j, y in enumerate(t):f[i + 1][j + 1] = f[i][j] if x == y else \min(f[i][j + 1], f[i + 1][j], f[i][j]) + 1return f[n][m]#f[0] = list(range(m + 1))表示初始化第一行，即s为空字符串时与t的编辑距离。因为此时s为空，所以只需要插入操作即可将t转换为s，所以第一行从0开始递增。f[i + 1][0] = i + 1表示初始化第一列，即t为空字符串时与s的编辑距离。因为此时t为空，所以只需要删除操作即可将s转换为t，所以第一列从0开始递增。300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的
子序列
。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
递归代码：
class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:n=len(nums)@cachedef dfs(i):res=0for x in range(i):if nums[x]<nums[i]:res= max(res,dfs(x))return res+1ans=0return max(dfs(i) for i in range(n))转化成数组
class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:n=len(nums)f=[0]*nfor i in range(n):for j in range(i):if nums[j]<nums[i]:f[i]=max(f[j],f[i])f[i]+=1return max(f)
